Soit

l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Qn en tire

^ b^x d^y b* dx à*y da^ a^y^

Cela posé, la formule connue du rayon de courbure donne

Pour avoir la développée' de l'ellipse,» repreaoD» ks

deux équations

Quand on remplace — et-r-j par leurs valeurs, l'équation (i) devient

OU

jr—n =

et posant a? — 1*= c*, il viendra

OU enfin

En permutant dans la relation (Z) x et j^ a el h ^ ce qui change c* en — c*, on aura

Par conséquent, si l'on pose, pour abréger ,—"= A et — = B, on a

En substituant ces valeurs dans Téquation de Tellipse^

a4o COURS d'analyse.

mise sous la forme

on a, pour Téquation de la développée,

La courbe représentée par cette équalîon est symétrique par rapport aux axes de l'ellipse, comme, du reste, on pouvait le prévoir. Pour ry = o, on a

ce qui donne deux points G, G', situés sur t'axe des jc

entre les foyers. On obtiendra de même les points H, H',

où la développée rencontre Taxe des j .

En différentiant l'équation (a) deux fois de suite, on a

3 \AJ A» 3 \b) B' "^ \B/ B

De là on tire

dV

A^ \B/ B^\dlEj

Or -7-^ est de même signe que le dénominateur, puisque le numérateur est positif. Par suite, celte déri\ée a le

VIIÏGTIEME LEÇON.

même signe que yj. Donc la courbe tourne parfont sa convexité vers Taxe des x.

On a ensifîle

cette dérivée étant nulle pour yj = o et infinie pour ^ = o, on en conclut que les axes sont tangents à la courbe aux points G, G', H et H', qui, à cause de la symétrie de la figure, doivent être des points de rebroussement.

RA70W DE COUP.BURE ET DÉVELOPPÉE DE l'hYPERBOLE.

246. Le rayon de courbure et la développée de l'hyperbole peuvent se déduire de ce qui précède en chan* géant i* en — i*. On a ainsi pour le rayon de courbure

et, pour réqtiatîon de la développée,

en posant c' = a} -ht*, — = A et -7- = B.

La développée de l'hyperbole se compose de deux

branches infinies HGK, H'G'K', symétriques par rapport aux deux axes; elle a deux points de rebroussement G et G' situés sur Taxe transverse au delà des foyers par rapport au centre, et elle tourne partout sa con-

vexité vers Taxe transverse.

Sturx. --^w.. I.

34^ COUAS d'AHALYSB.

ENVELOPPE d'une COURBE MOBILE.

247. Quand une courbe se meut sur un plan, en changeant de forme suivant une loi déterminée, en général elle touche constamment une courbe fixe qu'on nomme son en{feloppe. On peut supposer que la courbe mobile est représentée par une équation

(i). F(ar,j, c)^0,

dans laquelle c est un paramètre que Ton fait varier d'une manière continue. Si Ton donne à ce paramètre deux valeurs -successives c et c -f- A c, les courbes représentées par les équations

se couperont en un point (x, j^), pour lequel on aura

^[^yX^ c-4- Ar) — F(jr, 7, c) — o, et, par suite,

Si ùkc diminue indéfiniment, les coordonnées du point (x^j) qui ne cessent pas de satisfaire aux équations (i) et (2) vérifieront, à la limite, les équations

(3^ Y{x, y,c)=zo, ;^ = o.

On obtiendra donc le point limite M de l'intersection de la courbe (i) et de la courbe infiniment voisine, en résolvant les équations (3). Si maintenant on élimine c entre ces équations, on aura le lieu des points M, c'est-à-dire le lieu des intersections successives des courbes représentées par Téquation (1).

Je dis que ce lieu est l'enveloppe cherchée. En effet, une courbe A représentée par Téquatioa (i) est coupée

VIIIGTIÈME LEÇOIV. 243

par celle qui la précède, B, et par celle qui la suit, C^ en deux points qui unissent par se confondre. La droite qui joint ces deux points tend donc à devenir tangente à la courbe A. Elle tend d^ailleurs évidemment à devenir tangente au lieu des intersections successives. Don(! ce lieu est tangent à toutes les courbes représentées par Téquation (i).

i . Développée de la courbe

Solution.