DÉFINITION ET ÉQUATION DE LA CÏCLOIDE

2<i$. La cycloïde est le lieu des posiiions d'un point M donné sur an cercle (juî roule sans glisser sur une droite indéfinie A X.

P.renons pour a?ce des abscisses la droite Aj:, pour origine le point A, où se trouve le point gthiéraleur M à l'origine du mouvement, et pour axe des ordonnées la ' perpendiculaire Aj.

On reconnaît, à priori, que l'ordonnée est maximum

au point C, correspondant à l'abscisse AD= -cire. OM:

que la courbe rencontre de nouveau l'axe des x en un Fig. 44. point A' dont l'abscisse

est égale à la longueur de la circonférence génératrice, et que la portion CA' de la courbe est symétrique de l'arc CA par rapport à CD; ensuite qu'au delà du point A', comme à gauche du point A, il existe une infinité d'arcs ideniiques à ACA'.

Cherchons maintenant l'équation de la courbe. Soient AP = J7, MP =.r les coordonnées d'un point M du lieu, MO = a et MOH = « ; joignons MO et menons MI perpendiculaire à GH.

D'après le mode même de génération, l'arc de cercle MH est égal à la portion de droite AH. On a

ar = AH — PH = arcMH — MI = au — asm « = a(a — sinw), y == OH — I0=z a — acosu = a{i — cosu}.

Il ne s'agit donc plus, pour avoir l'équation de la cycloïde, que d'éliminer u entre les deux équations

(i) • x = a{u — sina),

(2) yz=a{i — cosa).

Or la dernière donne

cosuz=. =— ou w = arc ces ?

d'où

\/2.ax — r' sina = m —

Portant ces valeurs dans l'équation (i), on a l'équation de la cycloïde,

(3) X = a arc ces q= y/^^J — j'-

Pour expliquer le double signe du radical ou de sinu, on remarque que si le point M est sur l'arc AC, on a M < TT et sinw> o. Mais si le point M était sur l'arc CA', on aurait «>7r et sinu<o. Donc le signe supérieur convient à l'arc AC, et le signe inférieur à l'arc CA'.