Soit la courbe

cj>(jî) et t|/ (j:) dtant deux fonctions réelles et finies, pour

des valeurs de .r voisines de a^ supposons la fraction ^

positive, irréductible et ayant un dénominateur pair. Alors, pour chaque valeur de x supérieure à û, le terme

p (x — ay^f^x) a deux valeurs réelles égales et de signes contraires, ce que nous indiquons par le double signe zh.

Les deux valeurs dey^ réelles et inégales pour x plus grande que a, deviennent égales pour x = a^ et imaginaires pour j: plus petite que a. Donc les deux branches de la courbe viennent se réunir et s'arrêter au point qui a pour coordonnées a: = a, j" = cp (a).

Reste à voir maintenant si en ce point les deux branches ont la même tangente. Or l'équation de la courbe donne

Si - est plus grand que i, à la valeur x = a correspondra pour îy- la valeur unique cj>'(a). Donc les deux

branches ayant même tangente au point considéré, ce dernier est un point de rebroussement.

Pour savoir si le point de rebroussement est de pre-

mière ou de seconde espèce, on calcule ^-^9 ce qui donne

VIKGT-SIXIÈME LEÇON.

Nous ferons ici deux hypothèses : i** sî Ton a

on aura, pour x = a,

Ainsi, en admeitant que c[>"(rt)

ne soil pas nulle, -~ a le même

signe sur les deux branches, et, par conséquent, la courbe offre un rebroussement de seconde espèce (^g* 64)» a^ Si, au coBtraire, on a

pour une valeur de x très-peu supérieure à a, le terme

Hf -■>('-'.)'"'

sera très-grand en valeur absolue, et il n'en serait pas de même des autres termes de -~- qui tous, excepté le premier, 9"(jt:), convergent vers zéro, lorsque x tend vers a,

d^Y Ainsi, le terme (i) donne son signe à .;v-f ' ^^ comme ce

terme a le double signe, il s'ensuit qu'au point [.r = fl, j- = cf (a)], les deux branches sont situées de part et d'autre de la tangente commune. Dans ce cas, le rebroussement est de première espèce [fig» 65)*