Quand Féquation de la courbe
(i) f{x,x)=io
n'est pas résolue par rapport à j^, on en tire par la différen lia lion
dx dy dx
dy En un point multiple de la courbe, -j- doit avoir plu-
sieurs valeurs réelles et distinctes ; mais l' équation (2)
dy étant du premier degré par rapport à ~-> cela ne peut
arriver qu'autant qu'on aurait à ia fois
donc, pour avoir les points multiples, il faudra commencer par chercher les points dont les coordonnées vérifient les équations (i) et (3).
Comme l'équation (2) se réduit alors à o = o, elle ne
d'y peut servir à déterminer la valeur de -f— Il faudra recou-
'' dx
rir à l'équation différentielle
dx* dx
fxdjr dx dy^ \^^ / 4/ ^^
3oo
OU, puisque -7- = o,
dx
' dxdjr dx djr^ \dx)
supposons que les trois coeihcients — --> -; — 7- ei -p;
^^ ^ dx^ dxdy dy^
ne soient pas tous nuls, et que l'ëquatîon (4) donne deux
valeurs réelles et distinctes de -^ : il en résulte qu'il y a
deux lan{2;enles au point considéré, et par suite que deux branches delà courbe s'y traversent mutuellement: c'est donc un point double.
Mais si trois branches de la courbe se rencontraient en ce point, il devrait y avoir trois tangentes, et comme l'équation (4), qui n'est que du second degré par rapport
à --^» ne peut donner trois valeurs de celte quantité, on
devrait avoir en même temps
ax
dxdy
dy'
dy ,
Les valeurs de — - s'obtiendraient ensuite en différentiant
dx
l'équation (4). On voit comment il faudrait opérer, si un plus grand nombre (Je branches se rencontraient au point (a:*, j).
3H. Comme exemple, soit la courbe représentée par l'équation
j^^=:x^(i — J72), on bien y :=:dt.xs] \ — x^.
Cotte courbe est symétrique par rapport à Taxe des x n ;i l'axe des j". Elle coupe l'axe des x à l'origine et aux doux points qui ont pour abscisses a: = i et a: = — i.
En différentiant l'éqnaiion de la courbe, on trouve
-=±sli-x^^
VI — x^
VIJVGT-SIXIÈME LEÇON. 3ot
Pour jc = o, les deux valeurs de j se réduisent à une
seule, qui est o. D'ailleurs, pour ce point, on a
dx
Ainsi, l'origine est un point double. En ce point, les tangentes
TT' et SS' divisent en deux parties égales les angles des
axes.
On trouve, pour la dérivée seconde,
d^Y pour j: = o, on a -7-^ = o : ainsi, Torigine est à la fois
un point double et un point d*inflexion.
POlIiTS DE REBROUSSEMEJST.
312. On appelle point de rebroussement un point où deux branches de courbe viennent s'arrêter, et où elles ont une tangente commune. II faut, dans ce cas, que deux valeurs de j, réelles quand x est supérieure ou inférieure à Tabscisse du point, soient imaginaires quand x est inférieure ou supérieure à cette abscisse, et, en outre, que
dx
Le rebroussement est dit de première ou de seconde espèce, suivant que les deux branches sont de deux côtés différents {Jig* 65) ou du même côté de la tangente qui leur est commune {^g* 64). D'après ce que nous avons vu sur la convexité des courbes planes (n° 205), l'espèce
deux valeurs de -i- deviennent égales.
du rebroussement se reconnaîtra par le signe de -r — sur les deux branches, près du point en question.
3o2 COURS d'analyse.
