POINTS ISOLÉS

315. On appelle point isolé ou conjugué un point dont les coordonnées satisfont à l'équation d'une courbe, sans qu'aucune branche de cette courbe passe par ce point.

Si X croît de i à

Fig. 67.

Soit Téquation f

Xz=z±i[a:-'a)^x— bj

et supposons d'abord a plus grand que b. Pour x = bj on ai y = o, ce qui donne un point B situé sur l'axe des abscisses.

00 , j' croît de o à rh 00 , et Ton a une branche telle que MBL.

Si l'on fait x plus grande que è, l'ordonnée est imaginaire, excepté pour x=a^ car, pour cette valeur de x, on a j^= o.

Ainsi, lepoînt A(jr=:=a,j^=o) est un point isolé.

Si a est plus grand que è, la courbe n'a plus de point isolé, parce que les deux va- Fig. 68. leurs de^ sont réelles quand x

est comprise entre b et a. Pour X .= a^ les valeurs de jr se réduisent toutes deux à o. De

x = aax=oo,j^ croit jusqu a l'infini.

Dans ce cas, le point A est traversé par les deux branches BCK, BDL : c'est donc un point double.

POINTS d'arrêt.

316. On appelle point d^ arrêt un point où une brandie unique d'une courbe vient brusquement s'arrêter. Prenons la courbe représentée par Téquation

Pour o: = o, on a j^ = 00 5 si l'on fait croître o: jus-

Sturm. — jén,, I. -20

qu'à + 00 , j^ décroît depuîs -j- oo jusqu'à 4- i, ce qui

donne une branche asymptotique à l'axe des y^ et à la

Fig. 6g, droite dont l'équation estj^ = i.

Si maintenant on considère des valeurs négatives de x, la valeur dej^ sera —> et pour j: = o

on aura j^ = o ; la courbe passera donc par l'origine. L'ordonnée augmentera ensuite avec la valeur absolue de x jusqu'à la valeur j^ = i. Il y aura ainsi une seconde branche (*) de courbe, asymptotique à la droite qui a pour équation j^=: H- 1, et s'arrêtant brusquement à l'origine en venant des x négatives. L'origine sera donc un point d'arrêt.