DÉFINITIONS ET NOTATIONS

320. Etant donnée une fonction d'une seule variable, on peut toujours la considérer comme la dérivée d'une autre fonction inconnue, et chercher cette autre fonction, qui aura pour différentielle la fonction donnée, multipliée par la différentielle de la variable indépendante.

Soity(x) la fonction donnée; je dis qu'il existe toujours une autre fonction qui a pour dîfrérenlielley'(cr) dx» En effet, construisons la courbe CMD qui, rapportée à des axes rectangulaires, a pour équation

L'aire de cette courbe, comprise entre une ordonnée fixe Fig. 72. quelconque CA et l'ordonnée

MP qui correspond à Tabscisse variable x, est une fonction déterminée de X. Or, la différentielle de cette aire est ydx ou J{x) dx \ donc cette aire est une fonction qui aj'[x)dx pour différentielle, ouj'(x) pour dérivée.

3io COURS d'awalysk.

321. On appelle intégrale àef[x)dx et l'on représente par \f[x)dx une fonction dont la différentielle

est y (a:) dx. L'opération par laquelle on passe de la différentielle d'une fonction à cette fonction se nomme intégration.

L'intégration et la différentiation sont deux opérations inverses l'une de l'autre, de telle sorte que le signe d et

le signe 1 se détruisent mutuellement.

Ainsi Ton a, par la définition même,

d l f{x)dx=f{x)dxj \ dff{x)z=z(^[x),

322. L'intégrale d'une différentielle donnée/(a:)ir peut avoir une infinité de valeurs, car si (f[x) est une fonction iontf(x)dx soit la différentielle, en ajoutant à cette fonction une constante arbitraire, l'expression (f{x) -f- C aura la même différentielle. Mais il n'y en a pas d'autre, puisque deux fonctions ayant la même différentielle ne peuvent différer que par une constante.

Ainsi l'intégrale générale àe f[x)dx est

C étant une constante aj;bi traire. La figure rend bien compte de celte constante arbitraires car si, au lieu de prendre CA pour ordonnée fi^, on prenait C'A', on obtiendrait l'aire C'A'MP, qui stf«)asse CAMP de Taire constante C'A'AC.

INTÉGRATION d'uKE DIFFÉRENTIELLE ar|JLTIPLIÉE PAR UH