SIMPLES

324, La diffërentiation des fonctions simples a:"*, a', etc., conduit immédiatement à un certain nombie d'intégrales, que nous réunissons dans le tableau suivant :

x'^dx^z ~ hC,

j c*dx =

de*=::e'dx, j e'dx =:^ e' -h C,

da'z=za'\adx, j a' dx = h C,

dx dix = — 5

1 a'dx ^n ■— J ^«

dsmx :=^cosxdx, j cosor^a: rzr sinor -f- C,

dcosx=^ — sinxdx^ I sinxdx^= — cos^+C,

dx I dx

rftanga:= — — 9 / — ^ = tang^ + C,

dx 1 dx

d cet jp = . , » / . . = — cet J7 + C.

sm^j:

J sin'x

3ia COURS D'AnALTSE.

Si X est moindre que -?

SJi-^ x'* J \'i — x^

dx (* dx

aarccos.r=: y 1 — =i — arccosj: 4- C.

y I — x^ J sl^ — ^^

—===1 deux valeurf V^I — j:' •

qui semblent différentes *, mais, comme

arc cos jc -+- arc sm ^ = - j

on voit que les deux intégrales ne diffèrent que par une constante,

dx (* dx ^arctancj?= 9 f = arc tang j: -f- C.

^ i-^x' J I -+- JJ*

325. Dans toutes ces formules, x peut être la variable indépendante ou une fonction quelconque de la variable indépendante. Par exemple, si, dans la formule

X^dx=: hC,

on remplace x par y (or), on aura encore

326. La formule (1) devient illusoire quand on y fait n =z — I : elle donne alors

dx I ^

/dx — est égale à la transcendante l.r,

qui ne peut pas être représentée par une expression aigé-

VIWGT-SEPTIÈME LEÇON. 3l3

brique. Cependant un artifice de calcul permet de déduire de la formule (i) la valeur de / — •

En effet, si, dans celte formule, on retranche du second membre la quantité constante > ce qui ne

change pas sa différentielle, on aura ^

af'dx = 1- C.

Or, si l'on fait « = — i , la fraction — devient -;

pour avoir sa vraie valeur par la méthode connue, il faut prendre la dérivée des deux termes par rapport à /^, et faire w = — i dans le quotient de ces dérivées, c'est-à-dire

dans —9 ce qui donne ]x. On a donc

— = Ix -h C.

INTÉGRATION d'uWE SOMME,

327. Nous avons donné, dans le calcul différentiel, des règles pour différentier une somme, un produit de plusieurs fonctions, une fonction de fonctions; on en déduit des règles analogues pour le calcul intégral.

Ainsi, de la formule

ci(u -{- if — 2) = du -\- di> — dz^ on tîro, en intégrant les deux membres,

i d[u -^ V — ^ ) = j dn -\- ï dv — / r/z,

= I f{x)dx-\- I ta[x)dx — I 'lif[x)dx.

3l4 COURS D^NALYSE.

Donc r intégrale d'une somme de fonctions est la somme des intégrales des fonctions qui la composent* Par exemple,

Ax-^' Bj:»+' CxP-^'

/W-hl/l-f-I/?-hl