TUT

Soit m le degré de Téqualioii

dont nous désignerons les m racines par a, S, c,..., A.

Supposons d'abord que ces m racines, réelles ou imaginaires, soient toutes inégales. Cherchons à déterminer, si cVst possible, m constantes A, B, C,..., K, de manière que Téquatîon

(0 rrr. = z — - -^ z — i +• • • -^

/{jc) X — a X — b X — k

soit vériGée identiquement. Il faut et il suffit que Ton ait, pour toute valeur de x,

f[x\ f[x\ Tous les quotients ^^-^—^1 , y • » sont entiers, et les

inconnues A, B, C,. . ., sont en nombre égal à m; on pourrait donc trouver leurs valeurs en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres; mais on emploie un moyen beaucoup plus simple, et qui a l'avantage de faire voir que ces valeurs ne sont ni infinies ni indéterminées.

Faisons a: = a dans l'équation (a) \ puisque les racines

X — h - — ^»'««9 deviendront nuls. D'ailleurs - — ^de-

a, h^ c^.,.^ k sont toutes inégales, les quotients

vient - pour x = a] mais sa vraie valeur, d'après la règle

connue, est^ (a). Donc

,{a)^A/'(a), d'où J^=P^y

Cette valeur de A n'est pas infinie, puisque a étant une racine simple de J'(x)^ f^ [a) n'est pas nulle; la valeur de A est, en outre, différente de o si l'on admet, ce qui

y IITGT- HUITIÈME LEÇON. 3a I

est toujours permis, que la fraction ^r-— soit irréductible.

Ainsi, en donnant aux constantes les valeurs finies et déterminées

l'équation (2) est satisfaite pour x = a^ x = b^,,.. Elle aura donc lieu pour toute autre valeur de x. Car, si l'équation (2) n'était pas identique, comme elle est au plus du degré m — i par rapport à x, et qu'elle est vérifiée pour les rti valeurs de a, é, c, . . • , A*, elle aurait m racines, ce qui est impossible.

332. On peut encore parvenir de deux autres maîiièrcs à la valeur de — - — - pour a: = a. i«> On a (122)

et comva.Qf[x) est un polynôme algébrique, ce développement est limité ; or, puisquey(a) = o, il se réduit à

d'où

et, par conséquent, pour x = a,

li„ Zi^ =/'(«).

2? M étant le coefficient de la plus haute puissance de x dans/(jr), on a

Stuem. — An,f I. ai

3aa OOtJBS d'as ALT SB«

et, par suite, pour jc = a, il vient

lina ûfL = M (« — A) (û — r) . • •(« ~ il) =/'(«).