DÉFINITIONS ET NOTATIONS

377. Lorsque (f (x) est une fonction de x, dont la différentielle estf(x) dx^ on a

(jp [x) -\- C est nommée Vintégrale indéfinie de la différentielle y (j:) dx. Ordinairement on fixe la valeur de la constante indéterminée C d'après la condition que l'intégrale devienne nulle pour une valeur particulière a, attribuée à x. Dans cette hypothèse, C= — ^ (^) ^t

f[x)dx^:zf^[x) — (f [a).

Il reste encore dans cette expression une indéterminée x\ mais si Ton donne à x une valeur particulière &, l'intégrale, qui devient (f (h) — 9(^)5 est complétenienl déterminée. On la représente par la notation / ^(x) dx,

et on la désigne sous le nom A^intégrale définie, prise entre les limites a et i, ou depuis x = a jusqu'à x=zb. On a donc

/{x) dx =z(f (b) — Y (fl).

Fig. 73.

Ainsi la valeur de Tinlégrale définie s'obtiendra en faisant dans l'intégrale indéfinie a: = a, puis j:=i, et retranchant le premier résultat du second.

SIGNIFICATION GÉOMÉTRIQUE DE l'iNTÉGRALE DÉFINIE.

378, Soit CMD la courbe dont l'équation en coordonnées rectangulaires est y=:f[x). On a vu ciuef(x)dx était la différentielle de l'aire d'un segment terminé à une

ordonnée variable : j J'(x) dx est donc, d'une manière

générale, l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et deux ordonnées quelconques.

Mais si la constante arbitraire • est déterminée d'après la condition que rintégrale ou l'aire soit nulle pour x = OA = a, OP = x étant l'abscisse d'un point quelconque de la courbe, la valeur de l'intégrale pour cette valeur de x sera la surface ACMP. Par conséquent, si l'on y fait a:==0B = 6, la valeur de l'intégrale représentée, comme nous l'avons

dit plus haut, par / f{x)dx, sera la surface CABD,

comprise entre la courbe, l'axe O j: et les deux ordonnées fixes AC et BD.

EXEMPLES d'intégrales DÉFINIES.

af^dxzzz

iliH-l

J' jr" dx z=. > si « H- I est positif.

ttO

3x2 — jia? + 5

/{x) dx = --== arc tang — -= h C,

v'î4 sji^

/(x) dx = (arc tang -— = — arc tang — = ]

= —-= arc tang

/dx J ^ ^

— ; : = - arc tang — !- C,

dx I

J— = - arc tang i = -r— •

/dx . * r^ dx it

• = arc sin>r + C, I = -.

sji — x^ Jo \/ï — -^^ ^

I sin'^x^^r