DE SOMMES

380. Dans ce qui précède, on suppose y (a:) finie et continue depuis x=- a jusqu'à x = b. Dans ce cas, Vin-

têgrale définie 1 J^{x) dx est la limite de la somme

des valeurs i/ifinim,ent petites de la différentielle f(x)dx, lorsque x varie j par degrés insensibles^ depuis a jusqu'à b.

Supposons, pour fixer les idées, a moindre que J, el Fig. 74. admettons que/ ( x) croisse con-

stamment depuis /*(«) jusqu'à /(h). Considérons la courbe CMD, dont l'équation, en coordonnées rectangulaires, est

Soient OA = a, 0B= i, OP = x, MP=j, PF= A.r, On a vu, dans le calcul différentiel, que Taire CADB était égale à la limite de la somme d'une infinité de rectangles tels que MPP'I. Or on a MPP'I ~/(x) Ax; donc, si Ton désigne par Z [f(x) Ao:] la somme de tous ces rectangles, on aura

aireCABDzn / /(x) r/or z= lim^ f/(.r) A^] ^^V [/(^)r/:c],

ce qu'il s'agissait de démontrer.

On démontre encore ce théorème d'une manière purement analytique. En effet, soit (f (x) Tune quelconque des intégrales de f(jo) dx^ en sorte que f{x) =■ ç' [x) :

(1) A(f [x) =z [/{x) -t- cl]^x,

a étant une fonction de x qui s'annule en même temps que Ax, Or, si Ton fait varier x par degrés quelconques égaux ou inégaux, mais de plus en plus rapprochés, depuis a:==a jusqu'à x = i, on obtiendra, pour chaque valeur attribuée à jr, une équation analogue à Téquatiou (1); en ajoutant toutes ces équations, on aura dans le premier membre la somme des valeurs de A(f (x), c'est-à-dire l'accroissement total de ç (x) ou cf (i) — <f (a); il viendra donc

(2) ^(à) - <f{a) =^[/{x) Ax]-\^^{:cAx).

STORii. -- An., 1/ 24

^jo COURS ©'awa-lyse.

Mai», diapré» u» théorècae dtemoxfelré {ifi)^ on a

firiï^ (x^or) = o.

DoEkC VéquaticMi (3) devieiit „ eu passant à la limite,

Ainsi Fmtégrale définie est lia limite \$efs lac|ii£ll& ti^d la somme de& produits lel& que/*(j:}ûx qmaftkdar varie |)ar d&'^vés de plus en plus rappvoché», de.puis a ja&c|u'à é^ o«ky sous uvte. forniQ plus aJbré^«e^ Viut^rale est la somme des valeurs infîniment petites de la différea* lielle.

C'est k cause de cette propriété que Ton dé5ïg,tte les

intégrales par le signe 1 , lettre initiale du mot somme.

RBMARQ^lTES SUR I.ES KTFÉeRAEBS I^TIIffES.