Si c est une valeur de x comprise entre a et by on aura

I /(a:)rte.r=<p(è) — (p(rt), I /(x) dx = ^ {c) -^ if (a)^

•y a Ja

j f[x)dxz=zff{b) — (j)(r);

f /(x)dxz= f /{x)dr-\- f f[a:)dx.

On peut encore démontrer cette formule en s'appuyant sur le théorème du n° 380, ou bien en remontant à Tinterprétation géométrique des intégrales définies.

On démontrerait de même que

Jnh /»c /»e /»^ r*h

^ f{x)dx= f /[x)dx-h f f[x)dX'^ j f{x)dx-h f y(.r)rfjr

et ainsi de suite.

CALCUL i.PPRO€BÉ U^UKE LBTÉGRALE DÉFIME

383- Quand on ne sait pas intégrer une différentielle donnéey*(x) dx^ on peut souvent parvenir à deux limites

qui comprennent l'intégrale définie / f[x)dx. Pour

cela, soit ^{x) une fonction de x telle, que ^ [x) soit moindre que/(jf ) pour toutes les valenrs de x comprises entre a et &. Je dis qu'on a T inégalité

^ f{x)dx>J ^[x)dx.

La considération des courbes le démontre d'abord très-

siinpleineiit. En effet, soient CMD et CM^D' les courbes

Hg. 75. dont les équations sont respec-

livemcmt j =r/(x) , j = '^; (x) ; comme de

X = OA = a à x=z OB =^ b^ on a

la courbe C'M'D' sera au-dessous de la courbe ClVlD entre les ordonnées CA et BD; par conséquent on aura

aue CABD > aire C'ABD',

ou

f[x)dx^ / ^[x)dx.

Aulrement : puisque/ (x) — '^ [x) est ^v o, pour toutes les valeurs de x, depuis^ = a jusqu'à x ~- 4, l'intégrale

/ [/ W — ^ M ] ^•^' dont la dérivée est positive, croît

en même temps que x, et comme cette intégrale est nulle pour x= û, elle est toujours positive : on a donc

[f[x)--'^[jc)\dx^Oy ou 1 f[x)dx^ j i^{x)dx. a *J a. J a

De même, si y^ (x) est une fonction de x telle, que y (x) surpasse y (x), de x= a à x = è,on aura

(2) r s{x)dx< f x(^)''-^-

Par conséquent, si l'on sait intégrer «f/(x)£ixet x('^)^^' on aura deux limites qui comprendront I f{jo) dx.