NOUVELLE DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR

383. Les propriétés des intégrales définies conduisent à une nouvelle démonstration de la série de Taylor. On a identiquement

Jomais rintégration par parties donne successivement

j ffi^x-^rh — t)dt Jo

= tf (x H- // — r) + r tf" {x-\-h— t) dt,

Jo

r tf"[x^h^t)dt

Jo

= -f^r{^^à-t)-^£ JLr[x-^h^t)di,

Ç JL.f"'(^x^-h^t)dt

374 COURS D'AMàLTSE.

et ainsi de suite. En ajoutant toutes ces égalités, après y avoir fait t = hj on aura

R désignant le reste

/ /"■*•' (JC -h h — t) t"" dt.

Si maintenant M est la plus grande valeur, et m la plus petite valeur que prend /*"+* (x-f-A — t) de « = o à « = A,

on aura