RECTIFICATION DE LA PARABOLE

413. Si, par exemple, nous voulons trouver la longueur d'un arc de la parabole dont Téqtiatîon est

j2 — 2px,

il faudra, dans la formule ds = yjdx*'-j- dy^^ où nous supposerons x fonction de y^ remplacer dx par sa valeur tirée de l'équation différentielle

jr da: ^=1 p d.T y

ce qui donnera

ds = \J^- +d^'=j & + P'-

4^>4 COCBS D'ANALYSE.

Nous avons donc, si l'arc doit commencer au sommet de la courbe,

PJo

En intégrant par parties, il vient

Çdy v^j» • h /»' = j Vr' -f- />' - i-fi^-. mais on a

Par conséquent, en substituant et transposant,

dr

I tiy v(r' -^p'=y s'r -+ /^' -<-/'' |y=

Or (347, 1°)

donc

L'intégrale devant s'annuler pour j^ = o, on aura

o = ^l/? + C, d*où C=—^\p; en substituant cette valeur dans la formule, il vieut

l^p^ fx±\[F±Z)

RECTIFICATION DE l'eLLIPSE.

414. Considérons Parc d'ellipse BM, compté à partir du sommet B du petit axe (Jig* 84» p. Sgô).

De l'équation de la courbe

on lire

dx à^y '

on aura donc

ds = dxs^^-^^ — = dx^^.-^-^^J^^,-J^

ou bien

Posons pour simplifier s^a? — b^ =:i ae, e désignant l'excentricité, c'est-à-dire le rapport de la distance focale au grand axe : il vient

* = '^ V liTz:?-

Comme x varie entre o et a, on aura toutes les valeurs

de X en faisant

X zn a sin y,

Tangle (p variant de o à - : il en résulte

as=zad<fCOSff 4 / :=adf^i — c'sm'«p.

Nous aurons donc enfin

s = arc BM = « j df^i — e^ sin'^ •

415. L'intégrale / dcf yji — e' sin* (f est une fonction transcendante dont la valeur ne peut être obtenue que

4^^ coulis d'analyse.

par un développement en série. La formule du binôme donne

On a donc pour l'arc BM

Les intégrales du second membre s'obtiendront en substi* tuant cp à a: dans la formule (G) du n® 376, ce qui donne

nf — I . ,

H sm"'"* œ

-f- } '■^. -/- sm«-^ç H- . . .

(m — i)lm — 3). ..5. 3.1 . "|

{m — ïjf'w — 3). ..5.3.1 0

On ne met pas de constante arbitraire parce que cette intégrale doit commencer à zéro.

416. Si Ton veut avoir le quart de l'ellipse, il faudra faire cp == - dans toutes les intégrales. Cette substitution effectuée dans la formule (2) donne

On aura donc

^ / , • , . îf llir lll.3ir

et, par suite,

série convergente, et d'autant plus* que e est plus petit, ou que a diffère moins de b. Lorsque l'ellipse sVcarte peu du cercle décrit sur le grand axe^ il suffit de calculer un petit nombre de termes de la série pour en avoir la valeur avec une approximation suffisante.

417. On aurait pu parvenir à la formule (3) sans recourir à la formule (2). En effet, si, dans la relation

/sin^'-'ôcos» m — i /* . . , w m J

on prend les intégrales entre les limites zéro et -9 on aura

TT n

I sm"«pa^=: I sm"* 'yay.

Jo "^ Jo

On aura de même