INTÉGRALES TRIPLES
438. Soit U=y*(a:,^, z) une fonction de trois variables indépendantes a:, j^, z.
Si Ton intègre la difTérentielle Vdz par rapport à z^ c'est-à-dire en regardant .r et j^ comme des constantes, et si l'on fait varier z entre deux liaiites représentées par deux fonctions de x et de y, savoir {(x^jr'j et F (x,j^), on aura l'intégrale
Vdz, qui sera une fonction de a: et de j^.
4^6 couns d'analyse.
Considérons maintenant x comme constante dans la fonction
Vdz.
Intégrons cette fonction par rapport à ^ en faisant varier y entre deux limites représentées par y [x) et ^ [x) : on aura l'intégrale
qui sera une fonction de x.
Enfin, si l'on intègre la différentielle
Jf{x) Jtfx,
da: I dy \ Vdz,
par rapport à Xy en faisant varier x entre deux limites quelconques a et &, on aura pour résultat
^b ^tf,{x) /»F(x,r)
dx df Vdz.
Cette expression se nomme intégrale triple ; on la représente aussi par
Udxdjrdz,
fff'
On concevra de même une intégrale d'un ordre quelconque.
On démontrera encore, dans le cas de l'intégrale triple, que
dx 1 dy i \idz=z\imyyy^{\3^x^xJiz].
La démonstration étant tout à fait semblable à celle que nous avons donnée pour une intégrale double, nous nous dispenserons de la répéter ici.
THÉOBEME SUR l'orDRE DES INTÉGRATIONS.
439. Nous avons obtenu précédemment (431), pour l'expression du volume compris entre deux surfaces, deux cylindres parallèles à TaxcLO^, et deux plans parallèles au planj^^, l'intégrale double
(z — Zi)djr.
Ici l'ordre des intégrations n'est pas indifférent. Ainsi l'on n'obtiendrait pas, en général, le résultat cherché par la formule
f djr l {z — Zi)dx.
Toutefois, si y [pc] et ï|/ (x) sont des constantes a' et b\ c'est-à-dire si les deux cylindres parallèles à l'axe des z se réduisent à deux plans, il sera indifférent de commencer par l'une quelconque des deux intégrations; car, en répétant les raisonnements du n** 431, on voit que le volume en question a tout à la fois pour mesure l'une quelconque des expressions
Jr*h r*b' /%b' /%b
dx j (3 — Zi)dx ou j ^y I (^ — Zi)dx. a J a' % a' Ja
DE l'aire des surfaces COURBES.
440. On appelle aire d'une surface courbe, terminée à un contour quelconque, la limite vers laquelle tend l'aire d'une surface polyédrique composée de faces planes, qui, en diminuant toutes indéfiniment, tendent à devenir tangentes à la surface considérée. On suppose d'ailleurs que le contour qui termine la surface polyédrique se rapproche indéfiniment de celui qui termine la surface courbe.
Nous allons d'abord démontrer l'existence de cette limite.
Prenons sur la surface deux points M (a:, y^ -s), et M'(a:-f- Aj:,j-f- b.y^z-\- Az). Soient Pet P' leurs pro- Fig. 101. jectîons sur le plan xOy. For-
mons le rectangle PP'= AxAy dont les côtés soient parallèles à Ox et à Oy, et concevons un prisme indéfini ayant pour base ce rectangle, et dont les arêtes soient perpendiculaires au plan xy. Ce prisme intercepte sur la surface donnée un quadrilatère curviligne MM', et sur la surface polyédrique une aire w qui, si elle n'est pas plane, sera composée de parties planes a, a', a'\ etc.
Or, puisque les plans de toutes ces surfaces tendent indéfiniment à se confondre avec le* plan tangent à la surface au point M, si 0, 6', 6", etc., sont les angles formés par les plans des éléments a, a', a"^ etc., avec le plan xy, et si 1 est Tangle que forme ce dernier plan avec le plan tangent en M, on aura
COS0 = cos^ (i -h a), cosô' = cos^{i -H a'),. . .,
a, a', etc., désignant des quantités qui s'annulent en même temps que Aa:, Ay. Mais le rectangle PP' est la somme des projections de tous les triangles dont nous parlons. Donc
^x^x=acos'k(l -f-a)-+-â5'cos>(i -f-a') -t-a"cosX(i -+-«'')•
ou
tf
cosX ou, comme n -h a'-H a'^-i-
-f- [aa. -I- a' q! -f- a" aP -h },
Lx Ly
— = û) -h iaoL
rosA
-,-a'a'-hfl''a"-h...).
En opérant de la même manière dans toute l'étendue de la surface, on aura un certain nombre d'équations ana-
TRCKTE-SIXIÈME LEÇON. 4^g
logues à celle-ci, et qui, ajoutées membre à membre, donneront Tégalité
Donc ,
lim > :r- =\îtny <ù ■+• lira 7 (aa. H-ûf'a' -f- «"a" 4- ...)•
^i^ cos)i '^^ ^^^
Or
lim y* (fl a -h II' a' -h a" a' H- . . . ) =z= o,
d*après le théorème démontré an n° 16 : donc
ii«.5:»=iimy^= ff^
^Lid ^^ COSA J J COS
On voit par là que^w, ou la surface polyédrique, a une limite.
