INTÉGRALES MULTIPLES. - AIRE DES SURFACES COURBES

Intégrales doubles. — Intégrales triples. — Théorème sur Tordre des intégrations. — Quadrature des surfaces courbes. — Aire des surfaces de révolution. — Application à la sphère, à Pellipsolde.

DES IWT-ÉGRALES DOUBLES.

435* Toute expression où il entre deux intégrales relatives à des variables différentes, comme celles que nous avons obtenues à la fin de la dernière Leçon, est ce que Ton appelle une intégrale double.

Une intégrale double est définie lorsqu'on assigne les limites des deux intégrations. Elle est indéfinie dans le cas contraire, et on la représente alors simplement par

zdxdj,

dx \ zdf est la li-

a Jf (x)

mite de la somme de tous les produits de la forme z^xùy^ entre les limites des deux intégrations.

En effet, / zdr est l'intégrale définie Ae zdy

prise entre les limites 9 [x) et ^ (x) àe j, x étant regardée comme constante : on a donc (375)

zdy z=z lim ^ [zù^jr).

Par conséquent, en multipliant par ùiX et faisant varier x depuis X = a jusqu'à a: = ô, il vient

"^kJ zdAzr:z^\^x\im^(z^x)Y

Or, si les valeurs de x se rapprochenl de plus en plus, on a

lim > j ^x I zdy ) = / dx \ zdy\

^^ \ Jf{x) ) Ja Jf{x)

d'un autre côté, x étant regardée comme constante, dans ou bien

Donc enfin ce qu'il fallait démontrer.

437. On peut d'ailleurs démontrer ce théorème par des considérations géométriques. Soit

l'équation d'une surface : l'intégrale double

I dx j

zdy

représente, comme on l'a vu au n° 433, le volume V compris entre cette surface, le plan ocy^ deux cylindres parallèles à l'axe des z et deux plans parallèles au plan zOj.

Soient M et M' deux points voisins quelconques sur la surface. Construisons le rectangle ^p' . dont les côtés parallèles aux axes Ox et Oy soient conduits par les points P et P', pieds des parallèles à l'axe des z menées

4^4 CODKS C'AIfALTSZ.

par les points M et M'. Les plans MP;>, mpV, WP'p' cl Fia 100 m'/yPcoupenllasurfacesuivaot

un quadrilatère courbe MM' : le TotumeVest la somme des solides analogues à MP', terminés aux limitesconvenables.SoitMP^ï, et soient z — a la plus petite, et X + 6 la plus grande distance des points de la surface au plan

xy dans toute l'élenduedu quadrilatère courbe MM'. Le volume MP', que nous désignerons par AV, est

compris entre deux parallélipipèdes rectangles ajantpoar

base commune Pp' et respectivement pour hauteurs z — a

et 2 + €; comme d'ailleurs le rectangle P/r' = Aj;Ay,

on aura

{* — a) i* ij- < iV < (s + S) 4j: ûj-,

OU

Mais a et S s'annulant avec Cxx et ^y^ on a

Par conséquent,

•a deveuant nul en même temps que Ax et Aj'.

Pour chaque valeur de Aj7, on a une ïnGnité de valeurs de Ay qui produisent dans le solide une tranclie, dont le volume sera représenté par

Puis en faisant varier x, c'est-à-dire en prenant les autres valeurs de Ax, on a une suite de tranches dont la somme donne, quand on passe à la limite, le volume V, et par

conséquent,

V = \\m^[z^xàJr{l -i- II )].

Mais

Or

En effet, en supposant tous les points M, M', etc., assez rapprochés les uns des autres, on pourra toujours faire en sorte que pour chacun d'eux on ait yj <^ e, 6 étant une constante arbitraire que l'on peut supposer aussi petite que Ton veut. Par conséquent,

^^hzAx£ix)<^'^(tz^^ày), ou <i22 (^^"^^^î-

Or cette dernière quantité est nulle à la limite, puisque s peut être pris aussi petit que Ton veut, et que d^ailleurs

y^y^ [zAxAy) a une valeur finie. Donc enfin

V ou j dx j zfite = lim > > (zA.rAjV