AIRE DES SURFACES DE RÉVOLUTION

442. L'aîre d une surface de révolution s'obtient par une seule intégration.

Soit CMD une courbe plane qui, par sa révolution autour de Taxe Ox, situé dans son plan, engendre la surface dont on veut avoir Taire. Soit CMM'D un contour polygonal inscrit dans cette courbe. On peat considérer l'aîre de la surface comme la limite vers laquelle tend la somme des surfaces des troncs de cônes engendrés par le contour polygonal, lorsque ses côtés décroissent indéfiniment, en même temps que leur nombre augmente jusqu'à l'infini.

Soient ,

M {jc, x) et M' (x + A.T, jr -^ ^X)

deux sommets consécutifs du contour polygonal. La surface décrite par la révolution de MM' a pour mesure

• - MM' (cire MP + cire M'P')

OU

TT (2X H- Ajr) A

V'"^(sr

Mais comme

il s'ensuit que l'expression de la surface du tronc de cône sera

"^[y/'-^lSy-^"]^''

a désignant une quantité qui s'annule avec Ao?, et, par suite, la surface décrite par le contour polygonal aura pour mesure

En désignant par A la surface cherchée, on aura donc A:=l."m \] ( T-rcyKl i -f- -ti^-^ ) -h 2 7rjlim \^(aA^). Maïs lim 2 (« A^) = o (16) , et

donc

aei b étant les abscisses des extrémités de Tare CD.

En désignant par s un arc compté à partir d*un point fixe, on a

Donc

A =1 27r 1 jrds.