SURFACE DE LA ZONE

443. Comme application cherchons la mesure de la Fig. io3. zone engendrée par la révolution

de l'arc de cercle CD tournant autour du diamètre OL. Soit

l'équation du cercle. A étant la surface de la zone, si OA = a,

43a COURS d'analyse.

et Olî = i, on aura

= 2jt I ydxKJ IH j=:2îr I Rrfjr,

donc enfin

résultat connu.

Si l'on veut avoir la surface de la sphère entière, il faudra intégrer depuis x=^ — R jusqu'à j: = R, ce qui donnera l'expression connue 47îR*.

SURFACE DE l' ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION.

444. Supposons que l'ellipse OAB tourne autour d'un Fig. 104. de ses axes OA, et cherchons à

évaluer la surface engendrée par la révolution de Tare BM, qui

commence à l'extrémité B de

l'autre axe. On aura (442)

A=a.jrr'/xY/.+(gy-

Or l'équation de l'ellipse, a*j^* H-i*a:' = a*i', donne

dy h^x dx a}x d'où

Remplaçant dans cette expression a'j' par a'i* — i*x^, il vient

dy\^ ^>v/a*— (a'— b^)x^

à*y Supposons d'abord que a soit plus grand que i, c'est-à-

TRENTE-SIXIÈMK LEÇON. 433

dire que l'ellipse tourne autour de son grand axe. Posons y/a' — b^z=ae. Il vient alors

par conséquent,

A^27r- / dxJa^ — e'^x^=:* / dx</ x'.

Or (404)

a^ . ex

X'^VS-^'^-'^v?-

2 f "^V/ -; — ^^^•^\/"Iï — ^ "^ — ^arcsin-—^

r.he ( la} ^ à^ . cx\

A= xi/ x^-\ arcsm — ) •

445. Si l'on fait dans celle expression a: = a, et si Ion prend le double du résultat, il vient

Oit ha

iTzb' -\ arcsmtf

pour la surface totale de rellîpsoïde.

Si e = o, Tellipsoïde devient une sphère, et en obser-

van t que liai ^ — ^^ =i pour e = o, on retrouve i^T^a

pour la surface de la sphère.