NOTIONS PRÉLIMINAIRES

i. Notions sur les fonctions. — On âpi^eWe variable une quantité qui prend successivement différentes valeurs, et constante celle qui conserve une valeur fixe dans le cours d'un même calcul.

2. Quand les valeurs d'une variable dépendent de celles que prend une autre variable, la première est dite une fonction de la seconde.

3. On nomme variable indépendante celle à laquelle on donne des valeurs arbitraires, et fonction la variable qui prend des valeurs correspondantes.

On indique différentes fonctions d'une variable x par f{x), © ( j:), F(x). Le résultat de la substitution de a à la place de x dans/(j:) est indiqué par / ( « ) .

On représente les fonctions de plusieurs variables par/(.r, j, z),

9(07,^,2)» Ft*^» J» 2) On indique par /(«,6,c), «p{«,6, c),

F(«, è, c),. . . , les résultats que l'on obtient lorsqu'on met a^ b, c à la place de x, j, z dans ces fonctions.

4. On représente une fonction d'une seule variable par l'ordonnée d'une courbe plane, et par une surface, une fonction de deux variables indépendantes.

5. On nomme fonction explicite celle qui est exprimée immédiatement au moyen de la variable ou des variables dont elle dépend, et fonction implicite celle qui est liée aux variables dont elle dépend par des équations non résolues, ou par des conditions quelconques non exprimées analytiquement.

6 à 9. Méthode des limites. — Quand les valeurs successives d'une quantité variable approchent indéfiniment d'une quantité fixe

et déterminée, de manière à rCcn dijfércr qiûaussi peu qu'on voudrtty cette quantité fixe est appelée la limite des valeurs de la variable.

Si deux quantités qui varient simultanément restent constamment égales entre elles, dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent, et si Tune d'elles tend vers une limite, l'autre tend aussi vers la même limite : principe de la méthode des limites,

10 à 12. MÉTHODE INFINITÉSIMALE. — Un infiniment petit est une quantité essentiellement variable qui a pour limite zéro.

Les infiniment petits sont des auxiliaires qui servent à rendre plus aisé le calcul des quantités finies.

13. Théorème I. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites n'est pas changée quand on remplace ces quantités par d'autres qui ne leur sont pas égales, mais qui ont avec elles des rapports tendant vers l'unité.

14. Autre énoncé : La limite du rapport de deux infiniment petits ne change pas quand on les remplace par d'autres qui en diffèrent d'une quantité infiniment petite par rapport à eux.

15. Théorème IL — La limite d'une somme d'infiniment petits ne change pas quand on les remplace par d'autres dont les rapports aux premiers ont respectivement pour limite l'unité.

16. Théorème. — Si une somme d'infiniment petits, dont le nombrer augmente indéfiniment, a une limite finie, la somme des produits obtenus en les multipliant respectivement par d'autres infiniment petits aura pour limite zéro.

17. Différents ordres d'infiniment petits. — Quand des infiniment petits dépendent les uns des autres, ou en prend un pour infiniment petit principal. On appelle infiniment petits du premier ordre tous ceux dont les rapports à l'infiniment petit principal ont des limites finies ; infiniment petits du second ordre ceux dont les rapports aux infiniment petits du premier ordre sont des infiniment petits du premier ordre, et ainsi de suite.

Si a est un infiniment petit du premier ordre, p étant fini et p infiniment petit, a"(/3-f-p) représentera un infiniment petit de l'ordre de n.

Autre énoncé des théorèmes I et II (13, 15) :

Quand en cherche la limite du rapport de deux quantités composées d'infiniment petits de divers ordres, on peut ne conserver, dans chacune de ces quantités, que les infiniment petits de Tordre le moins élevé.

Quand on cherche la limite de la somme de plusieurs quantités

infiniment petites, on peut ne conserver que les infiniment petits do Tordre le moins élevé.

"yi

TnËORËMES SUR LES DÉRIVÉES ET LES DIFFÉRENTIELLES.

18. Origine du calcul différentiel. — On a été conduit à la découverte du calcul différentiel en cherchant une méthode générale

Fia- 2. pour mener des tangentes aux

courbes planes représentées par des équations.

Soit la courbe AMB, les points M (or, 7), M' (a- -h h, j + Zi), la sécante M'MS, et la tangente MT,

tangIMR = lim j?

quand h diminue indéfiniment jusqu'à zéro.

19. But du calcul différentiel. — Fonction dérivée. — Le calcul différentiel a pour but de déterminer, pour chaque fonction, la limite du rapport de Taccroissement de la fonction à celui de la variable, quand celui-ci diminue jusqu'à zéro. Cette limite est appelée la fonction dérhée de la fonction proposée. On la représente parjr' ou par /'(a:).

20. Différentielle. — Le produit de l'accroissement de la variable indépendante x par la dérivée de la fonction s'appelle la différentielle de la variable 7, et on la désigne par dy :

dy = yh=f'[x)h.

La différentielle de la variable indépendante n'est autre chose que l'accroissement h.

La dérivée d'une fonction d'une variable est le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable.

21 . ctr et dy sont les accroissements correspondants de x et de j, quand on passe du point de contact M situé sur la courbe à un point quelconque I de la tangente, tandis que k ou M'N est l'accroissement de l'ordonnée de la courbe correspondant au même accroissement h = dx de l'abscisse.

22. Le rapport de l'accroissement de la fonction à la différentielle de cette fonction tend vers l'unité.

23. Propriétés générales des fOiNctions dérivées. — One fonction croît ou décroît â partir d'une valeur déterminée de x, suivant que sa dérivée est, pour cette valeur, positive ou négative.

24. Si la dérivée d'une fonction est nulle pour toutes les valeurs de X comprises entre a et ô, cette fonction a une valeur constante dans cet intervalle.

25. Si une fonction est croissante dans un certain intervalle, sa dérivée ne peut devenir négative dans cet intervalle; si une fonction est décroissante, sa dérivée sera négative. ^

26. Si la dérivée d'une fonction était constamment infinie, x serait une constante.

27. Quand on considère plusieurs variables x, j, z, «, on représente les accroissements simultanés de ces variables par A.r, Aj, Az, Af/. '

28. Lorsque deux fonctions sont égales pour toutes les valeurs de la variable indépendante, leurs différentielles ou leurs dérivées sont égales.

Deux fonctions qui ne diffèrent que par une constante ont la même différentielle.

29. Réciproquement, si les différentielles de deux fonctions sont égales entre elles, dans un certain intervalle, ces fonctions auront, dans cet intervalle, une différence constante.