NOTIONS SUR LES SÉRIES

48. DÉFINITIONS. — Série, suite composée d'un nombre infini determes formés d'après une loi déterminée.

Si, à partir d'une valeur de n suffisamment grande, la somme des n premiers termes S„ approche indéfiniment d'une limite finie et déterminée, quand n augmente de plus en plus, la série est convergente^ et la limite S vers laquelle elle tend est la somme de la série. La difl'érence S — S„ = R„ se nomme le reste de la série.

Si S„ croît au delà de toute limite, ou n'a pas de limite fixe, la série est divergente,

49. Théorèmes sur la convergence des séries. — Pour qu'une série soit convergente, la condition nécessaire et suffisante consiste en ce que la somme d'un nombre quelconque de termes au delà du n""^^ u^, soit aussi petite que l'on voudra, si n est suffisamment grand.

30. A partir d'un terme m„, n étant assez grand, les termes doivent finir par devenir plus petits que toute quantité donnée. Condition nécessaire, non suffisante.

5i. En général, pour reconnaître si une série est convergente, on compare ses termes, à partir d'un certain rang, à ceux d'une autre série qu'on sait être convergente, et s'il arrive que les termes de la première soient inférieurs ou au plus égaux à ceux de la seconde, alors cette première série est convergente,

52. Théorème I. — Une série dont tous les termes, ou du moins les termes très-éloignés, sont positifs, est convergente si, à partir d'un certain terme, le rapport d'un terme quelconque au précédent est plus petit qu'un nombre déterminé k^ qui est lui-même plus petit que l'unité.

53. Théorème II. — Une série à termes positifs est convergente.

si, à partir d'un certain terme, on a constamment

54. Les termes d'une série ayant des signes quelconques, si la série qu'on obtient en prenant positivement tous les termes au delà d'un certain rang est convergente, la série proposée le sera aussi.

Condition suffisante, non nécessaire.

55. Théorème III. — Une série est convergente quand les termes éloignés sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment.

{«, -h (', v^^) -^ («j + ï'j ^f-i) -f-. . .4- ("„+»'„ v/— 0 -h . • . : série convergente, si les deux sommes

sont convergentes.