Formule de Moivre

(cosx-f-\/ — I sinjc)'" = cosmx'+- yj — i sin/wx,

encore vraie lorsque m est un nombre fractionnaire, positif ou négatif.

i4S. Développement du sinus et du cosinus d'un multiple d'un

ARC suivant les PUISSANCES DU SINUS ET DU COSINUS DE CET ARC.

„ m(m — 1 ) . . « cosmj? = cos" j: ^ COS*" ^x ^\vcx

».. • m (m — i) [fn — 2) «••a sin mx = m cos"*"* xsinx ^^ -^ cos'""' sin^ j: -h. • • •

i46. Développement d*unb puissance d'un sinus ou d'un cosinus SUIVANT LES SINUS OU LES COSINUS DES MULTIPLES DE l'aRC. — /W = 2/2 :

2'"""* cos"* X = cos mz -h m cos [m — *i)x

2*""* cos'"x = COS mx 4- m cos [m — ^)x

H ^^ cos /?2 ~ 4) a: 4-. . .H ^ o coso?.

( — 1)''2'"~' sin"*x = cos/wor — /72 cos [m — 2)0:

ni[m — \\ , , ■ ^ I m (m — 1). ..[/2 4- i) H ^^ ^cos(/;2 — 4)j^— .-. . tb i i- — i

( — I )" 2*""' sin'"^ = sin mx — msin(m — 2 ) a:

i48. Théorie des exponentielles imaginaires.

.Convenons d'appeler e*^^ le résultat de la substitution de xy/— 1

à la place de x dans la série ci-dessus : on aura

e"^ = cosj: -h yj— I sinr, e"**^"^ = cos j: — y/ — i sinx.

COS:c = » sina: = ;

150. On est convenu de représenter par e*+^*'~* le résultat de la substitution de X'^y\l— i à la place de x^ dans la série

La formule e* x e^ = ^+^ est encore vraie lorsque les exposants sont de la forme x-\-y v^— i.

151 . Toute expression imaginaire a + 6 yj'^i peut être mise sous la forme ^+^'*^.

Si <p est le plus petit des arcs positifs qui ont --=: pour co-

sinus, et ■ pour sinus, on aura, / étant un nombre entier

quelconque, positif ou négatif,

152. LoGARTTHHBs IMAGINAIRES. — Si Tou con\ient d'appeler logarithme népérien de /x + ^ v^— ï Texposant imaginaire de e^ dans régalité précédente, on aura

1 (fl 4- /» /^) = -!(«'-+- *') + (a/TT 4- <p) v/^=n".

Un nombre positif a un seul logarithme réel et une infinité d'imaginaires.

Une quantité négative n'a pas de logarithme réel.

RflSOLUTION DBS EQUATIONS BINOMES.

153 à 155. RÉSOLUTION de l'équation af*=^ a.

(liit . . . 2/7r\ cos h V — 1 sm ) 7

DES MATikRBSfl /=0, I, a, 3,..., 771— I, OU

X = rlc

cos ± V — I sin

A- = o, I, a, 3,..., jusqua — ou — -^ — ? suivant que m sera pair ou impair.

156. Théorème de Cotes. -- A partir d*un point A, divisons une

circonférence en m parties égales.

Prenons sur le diamètre AA' une longueur OM = x, et joignons le point M aux divers points de division.

La différence des w**"** puissances des lignes OM et OA est égale au produit des lignes menées du point M aux divers points de division de la circonférence.

157, 158. RÉSOLUTION de l'équation a?^ = — a.

(2/ 4- IJTT

= r I cos