L'égalité
lim (as -¥- a'e' -h a^s" -h. . .) = o
donne lieu à ce théorème : Si une somme d'infiniment petits^ dont le nombre augmente indéfiniment^ a une limite finie, la somme des produits obtenus en les multipliant respectivement par d'autres infiniment petits aura pour limite zéro.
Par exemple^ considérons Taire comprise entre la courbe plane CD, l'axe des x et les deux ordonnées CÀ et DB. Imaginons que Ton partage AB en parties de plus
fO COURS D AI«ALYSE
en plus petites, telles que PP', suivant une loi quelconque, mais de manière toutefois que chacune de ces parties tende vers zéro. Je dis que la somme des rectangles tels que MIM'K, construits avec la différence de deux ordonnées consécutives et l'intervalle PP', a pour limite zéro. On a, en eilet,
et
et comme KM est une quantité infiniment petite, on aura, en appliquant le théorème précédent,
yiVIIM'K — o.
DIFFÉRENTS ORDRES d'iWFINIMENT PETITS.
17. Quand on considère des infiniment petits qui dépendent les uns des autres, on en prend un en particulier qu'on nomme infiniment petit principal^ et auquel on rapporte les autres comme à un terme de comparaison. On appelle alors infiniment petits du premier ordre tous ceux dont les rapports à Tinfiniment petit principal ont des limites finies; infiniment petits du second ordre ceux dont les rapports aux infiniment petits du premier ordre sont des infiniment petits du premier ordre, et aiiisi de suite.
D'après cela, si a est un infiniment petit du premier ordre, tout autre infiniment petit de cet ordre sera de la forme a (p -h (3), p étant fini et ]3 infiniment petit. En générai a"(/7->i-|3) représentera un infiniment petit de l'ordre de n.
Exemples. Si l'arc x est du premier ordre, sino: sera
du premier ordre, puisque a pour limite i ; i — cos a:
sera du second ordre, puisque i — cosj: = 2 sin^yX.
Les théorèmes I et II (n**" 13 et IS) peuvent s'énoncer ainsi :
Quand on cherche la limite du rapport de deux quantités composées d'infiniment petits de divers ordres, on peut ne consen^er, dans chacune de ces quantités^ que les infiniment petits de V ordre le moins éles^é.
Quand on cherche la limite de la somme de plusieurs quantités infiniment petites^ on peut ne conserver que les infiniment petits de V ordre le moins élevé (*).
Comme application du premier théorème, on a
,. sina: -f- 3sin*a: . sinx
11m = lim = I .
Dans cet exemple, on néglige au numérateur 3 sin'x, infiniment petit du second ordre, et au dénominateur Tinfiniment petit du troisième ordre 2 x'.
EXERCICES
\ . Deux points étant placés sur une courbe à une distance infiniment petite du premier ordre Tun de l'autre, la distance du premier de ces points à la tangente menée à la courbe par Tautre point est infiniment petite du second ordre.
2. Deux courbes ayant une tangente commune, la diflérence de leurs ordonnées, situées à une distance infiniment petite du premier ordre du point de contact, est du second ordre au moins.
