MÉTHODE INFINITÉSIMALE

10. Lorsqu'une quantité variable prend des valeurs de plus en plus petites, de manière qu'elle puisse devenir moindre que toute quantité donnée, on dit qu'elle devient irifiniment petite. Ainsi la différence entre l'aire d'un cercle et celle d'un polygone inscrit peut être rendue infiniment petite en augmentant le nombre des côtés. La

fraction -^ devient infiniment petite quand x

prend des valeurs de plus en plus grandes.

Une quantité infiniment petite ou un infiniment petit n'est donc pas une quantité déterminée, qui ait une valeur actuelle assignable : c'est au contraire une quantité essentiellement variable qui a pour limite zéro.

H. Quand une variable prend dès valeurs de plus en plus grandes, de manière qu'elle puisse surpasser toute grandeur donnée, on dit qu'elle devient infinie ou infini" nient grande^ et on la représente alors par le signe oo

OU - • Ainsi la fonction

devient infinie pour x = a.

Pour des valeurs de x très-peu différentes de a, mais plus grandes que a, les valeurs correspondantes dey sont positives, tandis que, pour des valeurs de x plus petites que ûf, les valeurs de y sont négatives. L'infini est donc positif ou négatif, suivant les cas.

12. Les infiniment petits sont des auxiliaires qui servent à rendre plus aisé le calcul des quantités finies. Leur

emploi donne lieu à la résolulion fréquente de ces deux problèmes : i** deux infiniment petits dépendant Viin de r autre ^ troui^er la limite de leur rapport ', 2° trouver la limite d*une somme d^ infiniment petits dont le nombre augmente indéfiniment.

La solution de ces problèmes est simpliGée dans un grand nombre de cas parles deux théorèmes suivants :

13. Théorème I. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites nest pas changée quand on remplace ces quantités par d^ autres qui ne leur sont pas égales^ mais qui ont avec elles des rapports tendant vers V unité.

Soient a et |3 deux quantités infiniment petites ; a' et j3^ d'autres quantités telles, que les limites des rapports -7»

^soient égales à Tunité. On aura identiquement

d'où Ton tire

a oc ce CL

Iim - ^ lim -;• Iim — = hm —

On aura de même

d^où

donc

lmi-:=hm^.hin~=:limp^-,

hmp=lim- = hm-.

14. On peut encore présenter la démonstration de ce théorème comme il suit :

Puisque — a pour limite l'unité, si l'on pose

on aura

et - devra tendre vers zéro, ce que Ton exprime en disant

que d est infiniment petit par rapport à a. On aura de même

par suite,

Donc, puisque- et — ont pour limite zéro, on aura

d'où

a' . fi lim ~ • lim - = i ,

ace lim -rr = Iim T •

Ce nouveau point de vue donne lieu à cet autre énoncé :

La limite du rapport de deux infiniment petits ne change pas quand on les remplace par d^ autres qui en diffèrent dhine quantité infiniment petite par rapport à eux.

Exemples. On aura, pour a: = o,

I® lim = lim = lim cosx = i,

tango: tanga:

-. sin2:r ,. nx 1 2» lim . ^ = lim T^ = ^) smox ôx 6

sin X jc

3® lim . , , - = lim — - = oo .

sm'3^ 9x*

PREMIÈRE LEÇON. y

15. Théorème II. — La limite (Tune somme d^infini' ment petits ne change pas quand on les remplace par d*autres dont les rapports aux premiers ont respectif vement pour limite V unité ou qui diffèrent des premiers de quantités infiniment petites par rapport à eux.

Soient a, a', a"^ . . . des infiniment petits qui se succèdent d*après une loi déterminée et dont le nombre augmente de plus en plus. Désignons par S leur somme, et supposons que cette somme ait une limite finie. Soient /3, P', |3", ...je, e', e", . . . des infiniment petits tels, que l'on ait

P := a + ae, f' = a' -h a'e', f z= a"-l- ol\% . . . ,

on aura

p -4- p'-h p'' -h. . .= S -4- as -I- a'e' -+- a"g"-f-

Or, si yj est la plus grande des q^iantités e, e', e", . . . , on aura, en valeur absolue,

as -f- a's' -f- aTz" -f- . . . < Su, et comme ri a pour limite zéro, il en résulte

lim (as -i- a'g' -I- «"s"' -f- . . . ) = o> et par conséquent

. lim(p-f-p'H-p"H-...)=:S,

ce qu'il fallait démontrer.