ORIGINE DU CÀLG13L DIFFÉRENTIEL

18. On a été conduit à la découverte du calcul difTérentiel en cherchant une méthode générale pour mener des tangentes aux courbes planes représentées par des équations.

Concevons deux variables xel y liées entre elles par une relation quelconque, de manière que Tune soit fonction de l'autre, yz:=f{^x). Considérons ces variables comme les coordonnées d'un point rapporté à des axes rectangulaires tracés dans un plan, et construisons la courbe AMB dont l'équation est j- =y*(j:). Supposons

Fis- 2- cette courbe réelle et

continue dans une certaine étendue, et proposons-nous de mener la tangente au point M dont les coordonnées sont x et ^. On définit ordinairement la tangente comme la limite vers laquelle tend une sécante, lorsque,, cette sécante tournant autour d'un de ses points d'intersection, un second point d'intersection s'approche indéfiniment du premier. Soit donc M' un second point de la courbe ayant pour coordonnées x -f- /i, j^4- /:•, considérons la sécante M'MS, et la tangente MT qui en est

DEUXIEME LEÇON. l3

la limite. On a, dans le triangle M'MN,

Donc

tangM'MN^ — :^-

tangIMR = lim langM'lVIN = lim j>

quand h diminue indéGni ment jusqu'à zéro.

Donc, si Ton cherche la limite du rapport des accroissements simultanés Al et h des variables y et x^ accroissements liés entre eux par Téquation

quand h diminue indéfiniment, cette limite sera la tangente trigonométrique de Tangle que fait avec Taxe des x la droite qui touche la courbe au point M.