BUT DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. FONCTION DÉRIVÉE
19. Le calcul différentiel a pour but de déterminer, pour chaque fonction y la limite du rapport de Vaccroissèment de la fonction à celui de la variable^ quand celui" ci diminue jusqu'à zéro. Cette limite, qui dépend de la valeur attribuée à la variable a:, mais nullement de son accroissement A, est appelée la fonction rfenVee de la fonction proposée. On la représente par j^' ou pary [x).
Nous allons chercher la dérivée de quelques fonctions simples.
m étant entier et positif. Si nous changeons a: en a: -f- A 9 Y devient j^-h-A, et l'on a j^ -+- A: == (x -h A)"*, d'où Ar = (a: -f- A)** — x^, ou
k — moT-'h H x'^-^h^ 4- . . . -h A%
d OÙ
l4 COURS D^ANALYSR.
Le rapport y se compose de deux parties, Tune indépendante de A, et l'autre dans laquelle le facteur h est commun à tous les termes^ si A décroit indéfiniment jusqu'à zéro, cette seconde partie pourra devenir aussi petite que Ton voudra \ donc
lim \ =: maf^\ n
Ainsi, dans ce cas,
On peut encore obtenir cette dérivée sans faire usage de la formule du binôme. Posons
on a alors
k = X" — af ;
et si Ton remarque que A = X — x^ on en déduit
h IL — x
X*"- ' ■+ X^-'x -f- . . . -f- Xa:^-^ -f- af^-K
Quand h diminue jusqu'à zéro, X s'approche indéfiniment de j:, et, comme le dernier membre a m termes qui
deviennent égaux à a:'"~S quand on passe à la limite, on
h a bien encore lim -r = moc"*"^ .
2^ Soit une fonction entière
Changeons xen x -^h^ y devient j^ -h- /r, et l'on a
y -{'hz=:za{x -hhy^ ô (x + /<)» -h c(x-4-/i)/' -f- . ..•
/t = a [(x -f. // )*" — a:" j -4- 6 r ( jr -f- ^)» -• X"]
DEUXIÈME LEÇON. iS
et, par suite,
. r , fi ('i — î) . n
Divisant par h et faisant ensuite h = o^ on a lim — z=y =: maaf*-^ -h nbaf*"^ -h pcxP~^ 4- . . . .
On pourrait aussi obtenir cette dérivée comme la précédente, sans recourir à la formule du binôme.
m étant entier et positif. On a
•^ [x-^lif
et
, I i .r'" — fjr-hA)"»
(x-f-//)'" x*» a:'"(.r-f-Ay»
d'où, en développant et divisant par A,
et enfin, passant à la limite, on a
hm - = —
donc
d'où l'on voit que la règle pour obtenir la dérivée de x^^
X6 COURS D Alif ALYSE.
quand m est enlier, esi toujours la même, quel que soit le signe de m.
4« yz=slx^—a^'.
on a
et, par conséquent.
^- __ \/(x -t- /i ,2— fj^ — \]x^ — n^ ^
OF) si Ton fait A = o, cette expression prend la forme - •
Pour faire disparaître IMndélerminalion, on emploie un procédé bien connu : on multiplie les deux termes de la fraction par la somme des radicaux dont le numérateur est la différence, et Ton a
^__ [\/{x-h hf—a^-- \Jx^ — a»] [v/(x -h //)'— fl'-h sjx^ — a»J
___ [x-^hY — x^
~~ h [^[x^hy—a^ -h v^x» — a^] '
ou
enûn
donc
lim 7 =: — ■ = , y
Nous avons trouvé d une manière assez prompte et assez facile les dérivées des fonctions précédentes^ mais les procédés que nous venons d'employer seraient insuffisants pour des fonctions d'une forme moins simple. Le calcul différentiel va nous donner des méthodes plus générales.
DEUXIÈME LEÇOM. i^
