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offre une série dans laquelle cette condition est évidemment remplie, mais qui néanmoins n'est pas convergente, car, en groupant les termes comme il suit,

on voit que chacune des sommes renfermées entre parentlièses est plus grande que -» et, comme il y en a une înfîni lé, la série a nécessairement une somme infinie.

51. En général^ pour ^econnaître^sî une série est convergente, on compare ses termes, à partir d'un certain rang, à ceux d'une autre série qu'on sait être convergente, et s'il arrive que les termes de la première soient inférieurs ou au plus égaux à ceux de la seconde, alors celte première série est com^ergente. On peut se dispenser de comparer les premiers termes.

En comparant une série à une progression géométrique, on est conduit aux théorèmes suivants «

52. Théorème I. — Une sèiie dont tous les termes, ou du moins les termes très-éloignés, sont positifs, est roni^ergente si^ à partir d\in certain terme ^ le rapport d^un terme quelconque au précédent est plus petit quun

QUATRIEME LEÇOIT. 4^

nombre déterminé A, qui est lui-même plus petit que V unité.

Ainsi, supposons qu'à partir de u^ cette condition soit 1 emplie. On aura, m étant plus grand que /?,

et à fortiori de même,

on aura donc

Donc Or

est une quantité finie, quelque grand que soit i, puisqu'on suppose k moindre que i^ d'ailleurs ^m-<C ^'""" "» P^^^ devenir plus petit que toute quantité donnée» en prenant m assez grand 5 par suite, le reste Wm+i-H «m+s -h ... H- w,„^, peut devenir inférieur à tout ce que l'on voudra, en prenant m suffisamment grand. Donc la série est convergente.

Au contraire, la série est divergente si Ton a k plus grand que 1 .

Effectivement, si à partir de //» cette condition est remplie, les termes deviennent de plus en plus grands.

53. Théorème II. — Une série à termes positifs est convergente^ siyà partir d*un certain terme, on a cou-' stanunetit

46 COURS d'analysiî.

En effet, on aura, d'après celle condition^

ou bien

itn+t -h u^i -h . . . + it„+i < A" — ;

d'où Ton conclut, comme précédemment, que la série est convergente.

Au contraire, la série est divergente, si l'on a toujours,

à partir d'un certain terme,

Et, en effet, comme de là on déduit z/„>A", il s'ensuit qu'en prenant n suffisamment grand, i/„, et à foriion le reste de la suite, sera plus grand que toute quantité donnée (50).

54. Ou a supposé jusqu'à présent que tous les termes de la série, ou du moins les termes très-éloignés, étaient positifs. Soit maintenant une série dont les termes aient des signes quelconques.

Si la nouvelle série qu'on obtient en prenant positivement tous les termes au delà d'un certain rang est convergente, la série proposée le sera aussi. Effectivement, le reste de la série donnée a une valeur absolue moindre que le reste delà série transfo^:mée; par conséquent, il peut devenir moindre que toute quantité donnée.

Celle condition de convergence est suffisante, mais non pas nécessaire.

55. Théouème m. — Utie série est convergente quand Ici termes éloignés sont alternativement positifs et né" gatifs^ et vont en décroissant indéfiniment.

En effet, admettons que cette loi se vérifie, dans la série

à partir du terme m„+i que nous supposerons positif.

Appelons U„+i, U„^i, U„^8, etc., la valeur absolue des lemies ï/„+i, "„+tî m„^8, etc. On aura, p étant > «,

et, par suite,

hp ^ Ofl .

On a aussi

Sous cette forme, on voit que

Syi <C^ S;, -H U/l+l j

donc on a

Donc Sp est toujours compris entre S„ et S„ -f- U„+i, et comme U„+i peut devenir aussi petit que Ton voudra, la série est convergente.

56. On considère quelquefois, dans le calcul, des séries imaginaires de la forme

(tt, -hf>, v'— j)-f-(i/2-f-«'j V— 1)-4-. ..-+-(«„ H-f„^— i)-f-.... Une pareille suite sera convergente, si les deux sommes

«, -f- ttj -f- M3 -I- . . . -h tt„ H- . . . , <>i -t- «'2 H- «'a -^ • • • -4- t'a -4- • • j

sont elles-mêmes des séries convergentes.