THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE DES SÉRIES

49. La somme d'une série convergente est une quantité déterminée qui souvent n'est pas susceptible d'une autre expression : elle peut être employée dans le calcul comme une fonction des lettres qu'elle renferme. Il est donc important de savoir si une série est convergente. Voyons donc comment on pourra reconnaître ce caractère.

Pour qu'une série soit convergente, la condition né^ cessaire et suffisante consiste en ce que ta somme d^un nombre quelconque de termes au delà du «'*'"*, m„, soit aussipetlte que Von voudra, sin est suffisamment grand. Cette condition est nécessaire puisque, les deux sommes S„ et S„^; devant converger vers la même limite lorsque n eest de plus en plus grand, leur différence doit tendre vers zéro. Elle est suffisante, car si la somme

est comprise entre — e et -h e, S^+z sera comprise entre Si, — e et S„ -+- e, quantités qui se rapprocheront de plus

on plus à mesure que n augmentera, i restant le môme,

mais pouvant d'ailleurs être supposé aussi grand qu'on

voudra.

50. De cette proposition résulte la suivante : quà par^ tir d'un terme m„, n étant assez grand ^ les termes doivent finir par deyenir plus petits que tonte quantité donnée. Mais cette condition, qui est nécessaire, n'est pas suffisante. Ainsi l'exemple ci -dessous,