X cosa? H C0S2 j: -f- . . . h cosnx -t

sont plus petits que ceux de la série précédente. Donc la nouvelle série est.convergente à plus forte raison,

On a, dans cet exemple,

Gomme ce rapport tend vers x à mesure que n augmente, il en résulte que la série est convergente pour les valeurs de x comprises entre — i et H- i .

On arrive à la même conclusion en appliquant le second théorème (53).

On peut facilement trouver une limite. supérieure du reste R„. En effet, on a

ou, puisque x est moindre que i ,

jf*' I

StURU. — y//2., I.

5o COURS d'analyse.

- m {m — t) ^ 4» I -4- mx -\ -' j:' -Î-. . •

On a^ dans cet exemple.

Up

I Jj:.

Si j: est moindre que l'unité et positif, les termes finissent toujours, quand ^*est sufGsamment grand, par devenir alternativement positifs et négatifs, et par décroître indétiniment. Donc alors la série est convergente. Elle Test encore si Ton aj:<^o et que sa valeur absolue

soit plus petite que i ; car, dans ce cas, le rapport ^'*'^

Up

finit toujours par être, en valeur absolue, constamment plus petit qu'une fraction quelconque h plus grande que x. Si wT, positif ou négatif, est plus grand que i, la série est

divergente, car ( 1\ x finît toujours par surpasser I.

5** La série