X III

série dont la divergence a été démontrée (50).

Quand m est <[ i, la série (i) est à plus forte raison divergente, puisque ses termes sont plus grands que les termes correspondants de la série (2).

QUATRIÈME LEÇO«. 5l

Soit ensuite m ^ i . On a

Ce rapport, quoique constamment plus petit que l'unité, finira toujours par en approcher autant qu'on voudra. On ne peut donc pas appliquer le premier théorème (52), mais on démontre la convergence de la série pour m ^ i en groupant les termes de la manière suivante :

d^où l*on conclut que la somme des termes est moindre

que

c'est-à-dire moindre que la somme de la progression géométrique décroissante

6° Si dans la série

on fait

on obtient la série numérique

série convergente, puisqu'elle est un cas particulier d'une série qui est convergente, quel que soit x. On en représente la somme par la lettre e,

5a couns d'analyse.

Le nombre e est compris entre 2 et 3; car on a évî-

deniment

et

. tf<2 H h i h... -h — -h...

OU

ff<3.

Il est facîle de* trouver une limite supérieure du reste R„ de la série, ou de la somme