DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR

114. On a vu, dans V Algèbre élémentaire^ que si l'on cliange x en a:-f-/i dans une fonction entière de la variable x, désignée ç^v f [x) ^ on peut développer f[x-\-h) en une suite de termes ordonnés suivant les puissances entières et positives de raccroissement h, et qu'on a la formule

f[x-{-h)=:f{x)-^hf[x)^—r[x)-^,..

k m Ji

r (^)^ f^ {^)'i ^^^M étant les fonctions dérivées successives def(x). Cette suite se termine d'elle-même et contient m-i- i termes, quandy'(ar) est une fonction entière dont le degré est m; car sa fonction dérivée de l'ordre m est une quantité constante, et les dérivées des ordres supérieurs à m sont nulles.

Nous allons voir comment la formule précédente peut s'étendre à une fonction quelconque f (x) d'une variable X.

Représentons par R le reste qu'on obtient en retranchant dej [x -h h) la somme des n + i premiers termes

I02 COURS d'analyse. . .

de la série

f[x) + hf'[x) + -^/" W +. ••+. ,.3 „/'-'-^-^-->

qui a un nombre indéfini de termes, quand /^(j:) n'est plus une fonction entière 5 on aura

(Ol ,,.

Faisons a:-i-/z = ^,d'où résulte h=zz — x,et nous aurons

R dépend, comme on voit, de x^ de z et de 7^ =

Comme j: et ^ sont deux quantités indéterminées et indépendantes Tune de l'autre, on peut faire varier x en laissant z constant et prendre la différentielle ou la dérivée de R par rapport à la variable x» On aura

€lx

-f-/' (x) + (z- x)/"(x) + illliîl!/"'(x) .^. ..

Tous les termes du second membre se détruisent, excepté le (» -h I )'*'"% de sorte qu'on a simplement

Celte formule va nous servir à déterminer deux limites entre lesquelles le reste R sera compris.

Si l'on remplace y ^"+*^ (x), dans le second membre.

HUITIÈME LEÇON. Io3

par une constante arbitraire C, on aura

dx \ .1.6, . ,n[n -\- i) I.2.0.../2

En retranchant celte équation de la précédente, on trouve

^^^ dxl 1.2.3. ..(«-4-1) J 1.2.3.../?'^ -^ ^ ^■"

équation qui a lieu quelles que soient x et -^.

115. Supposons à présent x moindre que z ou l'accroissement h positif (puisque h = z — x) et admettons qu'en faisant croître ,v depuis une valeur quelconque plus petite que z jusqu'à la valeur z, la fonction y ("+*^ [x) reste finie et continue, ou, en d'autres termes, varie par degrés insensibles. Désignons par M la plus grande et par m la plus petite des valeurs que prendra cette fonction. En remplaçant C par M dans l'équation ci-dessus, le second membre sera positif ou du moins ne sera jamais négatif pour les valeurs de x croissantes jusqu'à z (*). Ainsi l'on aura

ax \ I .2.O. . .(/2 H- ij J .

Donc, tandis que a: croît jusqu'à z^ la fonction

croît aussi continuellement, puisque sa dérivée reste positive (ou plutôt ne devient pas négative). Mais cette

fonction R ^-^ — '-f- r M est nulle quaiid x de-

vient égale à z [car alors le reste R est nul", formule (2)].

Donc elle est négative pour les valeurs de x moindres

que -2J, et par conséquent on a

(*) Ce second membre pourra être nul pour une valeur particulière dex.

I04 COURS d'ànâltse.

Si dans la même équation (4) on remplace C par m, qui est la plus petite valeur dey*^"+*^ (x), il vient

^iR- :\ - . ,,"»i<o.

Donc, en faisant croître x depuis une valeur quelconque jusqu'à z, la fonction R —^ — ^ r m décroît ,

puisque sa dérivée est négative; et comme cette fonction s'annule quand x atteint la valeur z [formule (2)]) elle doit être positive pour les valeurs de a: <^ z. On a donc

MX ^ m.

Voilà deux limites de R.

116. Supposons maintenant x plus grand que z ou J% négatif, et désignons toujours par M et m la plus grande et la plus petite valeur que prendra y*f"+*^ (x), si Ton fait croître x depuis la valeur z jusqu'à une autre valeur quelconque plus grande que z. En remplaçant la constante G tour à tour par M et m dans Téquation (4)9 on aura, si le nombre n est pair,

tX^ ^ — r ;M >o,

dxY 1.2.3. . .(/î -4- i; J

Donc, en faisa.nt croître x depuis z jusqu'à une valeur

quelconque, la fonction R —^ j r M, qui est

d'abord nulle pour j: = z, croît en même temps que x, et par conséquent est positive. On a donc