I .2.3. . .(« -h ij

en désignant par K une quantité comprise entre M et m.

Donnons maintenant à x une valeur fixe arbitraire, et désignons par x' une variable qui reste comprise entre les deux valeurs déterminées a: et z ou j: et a: H- li. La fonction/^""^*^ (-^O' ^^"9 P^^ hypothèse, reste finie et continue quand x' varie depuis x jusqu à x + /i, passera successivement par tous les états dé grandeur intermédiaires entre sa plus grande et sa plus petite valeur, entre M et m; elle deviendra donc égale à la quantité K, qui tombe entre M et m, pour une certaine valeur de la variable x' comprise entre les valeurs extrêmes x et .r -f- A. On peut représenter cette valeur de x' par x -f- ô/i , 0 étant un nombre positif plus petit que l'unité et d'ailleurs inconnu, de sorte qu'on aura

L'expression précédente de R deviendra donc (5) R= ,^, r/C-^-O [x -4- GA);

en l'égalant à son expression primitive (i), on aura enfin

'o^ COURS d'analyse.

la formule de Taylor

\ f[x + h) =.f[x) 4- hf'[x) + -— /" (x) -4- . . .

la quanlîlé h est à volonté positive ou négative.

Cette formule a lieu pour toutes les valeurs de x et de X -{- h comprises entre deux limites a el b {a étant <C ou >> fe) , pourvu que /<"+*) [x) reste finie et continue pour toutes les valeurs de x comprises mtre a et A, et qu'en outre chacune des fonctions/(jr), ^^[oc),.. ., /^"^ {x) ait une valeur finie et déterminée pou: x. Ces fonctions resteront alors finies et continues, comme /**+* (a:), pour toutes les valeurs de x depuis a jusqu'à b. En effet, une fonction reste finie et continue dans un certain intervalle quand sa dérivée n a que des valeurs finies, car la formule

fait voir que cf (x) varie par degrés insensibles en même temps que .r,.si ^' [x) est toujours finie.

Les fonctions dérivées d'ordre supérieur à zi -h i ne sont assujetties à aucune condition.