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HCITÏÈME LEÇON. lO^

Le reste R, qu'il faut ajouter à la somme des n 4- i premiers termes de la série indéfinie

f{x)-^hf'{œ)^—f"[x)-^...^ Ç /(n)(^)H...,

pour avoir la valeur exacte àef[x-\--h)^ prend donc cette nouvellexforme :

Le nombre 0, plus petit que l'unité, qui entre dans les formules {?) et (8) , n'a pas ^a même valeur que dans la formule (6).

La formule (7) suppose que/^"^ [x') reste finie et continue pour toutes les valeurs de la variable .r', depuis x jusqu'à X -\-h'^ elle n'exige aucune condition relative aux dérivées d'un ordre supérieur à n. Celles-ci pourraient devenir infinies ou discontinues pour des valeurs de x' comprises entre x et a:-f-/i, sans que la formule cessât d'être exacte. Ainsi, en donnant à x une valeur particulière, ce développement (7) de /[x + h) peut être exact quand on l'arrête à un certain terme, et devenir inexact si l'on voulait le pousser au delà.

Supposons, par exemple, qu'on ait

/(.r) =cp(ir) H- [x — aY'^[x),

fl étant un exposant positif fractionnaire ou incommensurable compris entre les entiers « et w + i . Les dérivées de f{x) seront finies et continues pour x = a jusqu'à •/^"^ [oc) inclusivement, en supposant que les dérivées de (o(x) et de ^(x) le soient 5 mais au delà elles deviendront infinies pour x = a. Le développement de ^(a -\- h) ne

devra donc être poussé que jusqu'au terme -^ — r-/^"^ (^)

tout au plus, et on le complétera en lui ajoutant le reste

qui est une fonction continue de //.

io8 COURS d'analyse.

H9. Le reste R de la série de ïaylor peut encore être mis sous une- autre forme, quî est utile dans certains cas.

En désignant par (f(x) une fonction quelconque de x, on a, d'après la formule (6),

ou, en remettant z — .r à la place de /i,

ff [z) = ff (x) -h (z — x) (f' [x -h 9 {z — ^)]i mais si (f(oo) représente le reste R, on a

tf{z)z= o et ®'(x) =

[formule (3)], de sorte que l'équation précédente devient