Posons

j-z=:zj:* — 25x* et / 4- A = j?* — 25a:'-f-i4^, ou

En substituant ces valeurs dans la formule (3), on a

ltx+4)+l(a;— 4)+l(x-i-3)-hl(a:— 3)— 2l:r— l(j:-f-5)-]{-r— 5)

\x* — 25jF''-h72 3 \x* — 25 j:-' 4- 72/

Lorsque la valeur de x est très-grande, le second membre de cette égalité est très- petit. En effet, si par exemple

X est supérieure à 1000, le terme ^ ■ sera

* jc* — 25x'-4- 72

plus petit que — ;^vear

X* — 25jc^'\-n2 x^ix'^ — 25) 10® (10^ — 25) 10'" 20

Les autres termes de la série seront beaucoup plus petits et décroîtront même très-rapidement 5 par conséquent, si l'on avait x = 1000, ou un nombre supérieur, on pour-

rait, avec une erreur nioiudre que — - 5 poser

— 2\x — l(;rrH-5) — i (x — 5) =0,

formule qui donnerait l'un quelconque de ces logarithmes lorsque les autres seraient connus. Il est facile d'obtenir une multitude de formules de celte espèce.

137. Lorsque deux nombres dépassent une certaine limite assez grande, telle que 10 000, leur différence, pourvu qu'elle soit suffisamment petite, qu'elle ne surpasse pas 1 par exemple, est sensiblement proportionnelle à la différence de leurs logarithmes.

En effet, comme, en s'arrètant au premier terme, dans la série de Taylor, on a

ôj:

NEUVIÈME LEÇOW. t Îi5

on aura, si x = -^

\'^ ^ -^ r + ôA'

si A = I ,

loue

l (jr-f- 1) — Ir J + &/'*

Comme il n'entre ici que des rapports de logarillimes, on peut écrire, dans un système quelconque,

puisque les logarithmes des mêmes nombres, pris dans deux systèmes différents, sont proporlionnels (64). • Or

de môme

>-—--, ou >I