Pour toute fonction homogène, on a (173) Posons
on aura, u désignant /(x, y^ c ) ,
(fl) /(x-f-ax, j -4- aj, « -f- az; =r (i -f- a)"».
Or, la série deTaylor étendue aux fonctions de plusieurs
l 'Jl COUHS D ANALYSE.
variables (172) donne
(du fiu du \
a} (du du
l .2.\nx djr
puis le développement du binôme donne
/ X m [m — i) . (i -f- et pu •= u -h mua H aor
(* / r.f. C4« du \ O
Comme réquatîon (a] est identique, il en résulte
du du du
^ ' dx dy"^ dz
, , [du du du Y^) , ,
{ du du du \ '*) , . , ,
(3) l;s*-^rfP^-*-rfF") =«{«-') ("-a)».
La relation (i), la plus importante, montre que la somme des dériyéjs partielles d'une fonction homogène, multipliées respectii^ement par la variable correspond dante^ est égale à la fonction multipliée par son degré»
d79. Exemple.
a ^ Ax» -f- By -+■ Cz* -+• 2D/« -f- 2Ex« 4- 2F x/.
-— = 2Ax-f- 2E« 4- 2F/,
eùjc
du
-- = 2 B r 4- 2 Da -{- 2Fx,
djr
dn ^ ^ «
-— = 2C» -i-2D/4-2Ejr,
az
d*où
du du du
dx dy dz
'^ X l Ax' -f- B^ -i- C5»4- 2 D^s -+- 2 Ex;8 -h 2 Fxy) = 7, «,
TREIZIÈME LEÇOIÏ. I73
180. L'identité (i) peut s'obtenir directement comme il suit.
Posant
IX = p, tj =zq, iz = r,
on a
d'où il résulte, en prenant la dérivée des deux membres par rapport à t,
'(fiPff^r) ^ ^ d/(p,q,r) ^ df{p,q,r\ ^ dp tiq dr
z=mt^'f[x,y,z).
Cette identité a lieu pour toutes les valeurs de /^ or si f = 1,
4f(p^ y> r) df(p, q^ r) df[p,q,r) dp dq dr
deviennent respectivement
du du du
dx dx dz
donc
, ^ du du du
il) X-- h r-;- -4-Z-7 ==wa.
* dx dy dz
181. Pour démontrer directement la relation (2), il faut dilTérentier l'équation (1) par rapport à x, à j^ et à z ; ce qui donne
rf»/i d^u * dx^ ' ^ dxdy
d'u dzdx
du du dx '" dx
dxftj ^ dy
du du
djr dy
" dydz
dxdz dydz
du du
dz dz
Ajoutons ces équations respectivement multipliées par
i-| coums d'ahaltse.
x^y^ z^ puis retraDchoDS des deux membres de réquation résultante la quantité
du du, du,
