FONCTIONS HOMOGÈNES

175. Une fonction est dite homogène^ lorsqu'en multipliant les variables qu'elle contient par un même facteur, le résultat est égal à la valeur primitive de la fonction multipliée par une certaine puissance de ce facteur. Ainsi J {x^ j'y z) sera une fonction homogène si Ton a

m est dit le degré de la fonction.

1 76. Si Von diifise une fonction homogène du m***"* de^ gré par une des variables élevée à la puissance m, la fonction ne dépendra plus que des rapports des autres variables à celle-ci.

En effet, posons /x = i, on aura t = -» et la relation

devient

/[tx,ty,tz)=rf[x,ry^)

Réciproquement^ si cette condition est remplie, la fonction est homogène. En effet, si

on a

Élîininanl la fonction o, il vient (isuc^^^r f^* '■ r ' 7 ^)

ce qui démontre que la fonctîony(jf,^, z) est homogène.

177. Les dérivées partielles et du premier ordre de toute fonction homogène du m''"" degrés /['^'ij'i ^)j sont des Jonctions homogènes du [m — jj'*'"' degré.

Soie, en effet, ^^-^ — = 9 (-^0' ^) î oi a (^'^y

f[tx, tjr, tz) = r/(^, J, 2) ;

d*où, en prenant la dérivée des deux membres par rapport à X,

^{tx^ îy. tz) t = r y;;r, y, z]\

ce qui revient à

(J.(/X, //, tz) -:-. r-'(p(j-, J, 2' ;

donc (176, récipr.) (p (x, /, z ) ou — ^' *^--^ — ^ est une fonction homogène du [m — i )*«'"« degré.