Cours d'analyse de l'ecole polytechnique. Vol. 2

Name: Cours d'analyse de l'ecole polytechnique. Vol. 2
Author: Charles-François Sturm

Idées et philosophieLecture classique10 h 00 de lecture

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De quoi ça parle

Essais, discours, manifestes, pour penser et débattre. 10 h 00 (40 quarts d'heure) de lecture.

Premières lignes

Notions préliminaires. — Notions sur les fonctions d'une on de plusienn Ttriables. — Méthode des limites. — Méthode infinitésimale. — Différents ordres d'infiniment petits i…

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Chapitres

CALCUL DIFFÉRENTIEL15 min
TI TA.BLE DES MATIÈRES15 min
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL15 min
DE LA NOUVELLE ÉDITION15 min
DE LA PREMIÈRE ÉDITION15 min
U VIE ET LES TRAVAUX15 min
XVI AVERTISSEMENT DE LA NOUVELLE ÉDITION15 min
LISTE BIBUGGRAPHIQUE DES TRAVAUX DE STURM15 min
XXVIII NOTICE15 min
Jbid., p. 2o5. — Reclterches sur les caustiques15 min
XXX NOTICE15 min
Ibid.y p. 290. — Autre démonstration du même théorème15 min
Tome IH, p. 357. — Mémoire sur ^optique15 min
XXXII NOTICE15 min
VARIABLES15 min
MÉTHODE DES LIMITES15 min
L'égalilé15 min
Théorèmes analogues pour les surfaces15 min
ORIGINE DU CALCUL DIFFÉRENTIEL15 min
BUT DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. FONCTION DÉRIVÉE15 min
X- = \\ j: -h // )' —, fl' — \jc^ — a' y15 min
DIFFÉRENTIELLE15 min
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS DÉRIVÉES15 min
Si la dérivée d'une fonction était constamment15 min
Quand on a15 min
Si dans Téquation (i) on remplacey(x) par15 min
Si l'on a15 min
Soît15 min
Soît à diiTérenticr15 min
Soit maintenant on a15 min
Supposons actuellement que l'exposant m devienne15 min
La même formule sert à diflercntier les radicauT. Ainsi15 min
NOTIONS SUR LES SÉRIES15 min
THÉORÈMES SUR LA C0NVERGE?1CE DES SÉRIES15 min
I T I II I I15 min
ÉTUDE DE QUELQUES SÉRIES15 min
I -f- XQX3&X -f- -^ COS2X -h. . . H ^ COS/IX -f15 min
III - I15 min
III I15 min
I .2.O. . ./I \/i -r- J (/ï-hl/ ^n -r- ly15 min
Au surplus, en voici la démonstration très-rîgou15 min
Le nombre e est incommensurable, — En effet15 min
DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES15 min
X -h v'fl--i- x^ ^a'-v X15 min
En particulier^ si a = e et w = x, on a15 min
Exemples15 min
Sinus. — Soit15 min
Tangente. — La différentielle de la tangente se15 min
Sécante. — On a15 min
FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES15 min
j4rc cosinus. — Soit15 min
j^rc tangente. — Soit15 min
Exemples, i15 min
I -+-COSJ15 min
VXK UNE SEULE ÉQUATION15 min
CODES D ANALYSE15 min
ÉQUATIONS15 min
Soient, comme exemple, les deux équations15 min
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DE DIVERS ORDRES15 min
Exemples, i** ^ = x'», m étant entier15 min
Exemples. i° jk = ^'", m étant entier15 min
Exemple. Soient y =/(a:), et l'expression15 min
INDÉPENDANTES15 min
Si Ton pose15 min
PROPRIÉTÉS DE LA DIFFÉRENTIELLE TOTALE15 min
Soient, par exemple, les deux équations15 min
Soit15 min
PU15 min
Démontrer les formules15 min
ÉLIMINATION DES CONSTANTES15 min
Considérons maintenant l'équation15 min
ÉLIMINATION IE> FONCTIONS ARBITRAIRES15 min
CHAINGEMENT DES VARIABLES INDÉPENDANTES15 min
DÉMONSTRATION DE LA FORMULE DE TAYLOR15 min
AUTRES FORMES DU RESTE15 min
REMARQUES SUR LA SÉRIE DE TAYLOR15 min
REMARQUES SUR LÀ FORMULE DE MACLAURIN15 min
AUTRE DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR15 min
APPLICATIONS DE LA SÉRIE DE MACLAURIN15 min
XX X15 min
Soit15 min
iJ.<.L.<J15 min
Soit maintenant15 min
FORMULE DU BINÔME POUR UR EXPOSANT QUELCONQUE15 min
f- ly15 min
h i) \i -h ÔJT15 min
Si la valeur de x est négative, rien ne prouve15 min
FORMULES POUR LE CALCUL DES LOGARITHMES15 min
Posons15 min
IO15 min
ALGÉBRIQUES15 min
Si l'on pose15 min
FORMULE DE MOIVRE ET SES CONSÉQUENCES15 min
GÉNÉRALITÉS SUR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES15 min
Toute expression imaginaire a-^b\ — 1 peut15 min
Pour avoir sin'"X9 il faudra prendre la formule15 min
I -+- p(cosa) -\-^ — isino15 min
DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES15 min
O SOUS LA FORME15 min
Exemples, i® L'expression devient15 min
Supposons que l'expression ^, — - prenne la15 min
La démonstration précédente suppose que A15 min
VALEUR DES EXPRESSIONS QUI PRESHEKT LA FORME O X15 min
OU I15 min
EXTENSION DES RÈGLES PRÉCÉDENTES15 min
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES15 min
i \ax dy15 min
EXTENSION DC THÉORÈME DE MACLAVRIN15 min
FONCTIONS HOMOGÈNES15 min
Pour toute fonction homogène, on a (173) Posons15 min
X -J Y -4- Zm15 min
MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS D UNE SEULS15 min
Ijt ==o15 min
OU15 min
Soit15 min
X --- 4r, vol. max. ^ -7rr15 min
VARIABLES INDÉPENDANTES15 min
PA+Q15 min
Soient ]es équations15 min
Soit15 min
L*équatîon de la tangente conserve la même forme15 min
LONGUEUR DES LIGNES NOMMÉES SOUS-TAKGENTE. ETC15 min
COURS D AH ALT SE15 min
PROBLÈMES SUR LES TANGENTES15 min
DE LA CONCAVITÉ ET DE LA CONVEXITÉ DES COURBES15 min
Nous avons supposé, jusqu^à présent, que15 min
PLANES15 min
DÉTERMINATION DE LA TANGENTE15 min
On parvient encore à la formule (i) par une15 min
SOUS-NORMALE15 min
MA15 min
TUÉOUIK DU CONTACT DES COURBES PLANES15 min
Généralement, supposons que l'on ait15 min
DES AXES15 min
NN15 min
Soit15 min
Comme première application, considérons la droite15 min
Comme exemple, proposons-nous d'obtenir le15 min
Appliquons la théorie précédente à la parabole15 min
IP15 min
ENVELOPPE D^UNE COURBE MOBILE15 min
Développée de la courbe15 min
DÉFINITION ET ÉQUATION DE LA CYCLOIDE15 min
Pour obtenir -5^» on pourrait différentîcr l'cqua15 min
On a15 min
DÉVELOPPÉE DE LA CYCLOÏDE15 min
On retrouve le même résullat par le calcul. On a15 min
LONGUEUR D^UN ARC DE CYCLOÏDE15 min
Si l'on suppose ^ =: o, on aura15 min
COURBURE DES COURBES PLANES15 min
P' \ P PI15 min
DE LA. COURBURE DES COURBES PLÀHTES15 min
IDENTITÉ DU CERCLE DE COURBURE ET DU CERCLE15 min
MM' ,. G15 min
EXPRESSION DU RAYON DE COURBURE EN COORDONNEES15 min
Appliquons ce résultat à la spirale loga ri ih inique15 min
ÉQUATIONS DE LA TANGENTE15 min
Pour obtenir les équations de la tangente menée à15 min
Les coefficients différentiels — et -— s'obtiennent15 min
ANGLES DE LA TANGENTE AVEC LES AXES15 min
Prenons, d'une manière arbitraire et en nombre15 min
LIMITE DU RAPPORT D UN ARC A SA CORDE15 min
ÉQUATION DU PLAW TANGENT15 min
ÉQUATIONS DE LA NORMALE15 min
L'équation du plan tangent peut se mettre sous la forme15 min
Soit une équation de la forme15 min
C -.^ dxd^y — dyd^x15 min
KGLES DU PLAN OSCULATELR AVEC LES PLANS COORDONNÉS15 min
NORMALE PRINCIPALE15 min
Trouver V équation du Heu des normales à la surface15 min
La normale principale MN fait avec les axes des15 min
AKGLB OB TORSION. — RAYON DE SECONDE COURBURE15 min
L'angle infiniment petit f , formé par deux plan15 min
DÉFINITION ET ÉQUATIONS DE L HÉLICE15 min
TANGENTE A L^HÉLICE15 min
SI Ton appelle cp Tangle de torsion, on sait que15 min
DÉFIHITION DES POINTS SINGULIERS DES COURBES PLANES15 min
Soit d'abord la sinusoïde15 min
Soit encore la courbe15 min
POINTS MULTIPLES15 min
Quand Téquation de la courbe15 min
Soit la courbe15 min
Soit comme exemple la courbe15 min
POINTS ISOLÉS15 min
Soit encore la courbe j^ = t On ne peut pas15 min
Soit la courbe15 min
DÉFINITIONS ET NOTATIONS15 min
SIMPLES15 min
INTÉGRATION PAR PARTIES15 min
Soit proposé d'intëgrer la fraction15 min
Nous allons donc chercher15 min
On peut encore parvenir de deux autres ma15 min
La transformation (i) étant ainsi opérée, on a15 min
CAS PARTICULIER DES RACINES SIMPLES IMAGINAIRES15 min
Exemples15 min
r — 3 4 ^[^' — 3; et, par suite15 min
CAS DES RACINES MULTIPLES15 min
ff — i) X — a15 min
Ayant ainsi mis ■^—, sous la forme15 min
INTÉGRATION DES FONCTIONS IRRATIONNELLES15 min
DEGRÉ15 min
Exemples15 min
Occupons-nous maintenant de Tintégration de15 min
Les méthodes précédentes permettent d'intégrer15 min
hi 5 4-ti . ï15 min
FORMULES DE RÉDUCTION DANS LE CAS OU LES EXPOSANTS15 min
Une différentielle de la forme15 min
Calculer15 min
ALGÉBRIQUES15 min
IX15 min
Exemples15 min
f'{x)^r{x) ^r {^) - . . .] cosx15 min
ET TRIGONOMÉTRIQUES15 min
On peut encore déduire ce résultat de la formule15 min
Soit proposé de trouver15 min
Si Ton pose sinx= z, d'où15 min
COURS d'analysb15 min
On déduit de la formule (D), en supposant n ^= o15 min
DES INTÉGRALES DÉFINIES15 min
DE SOMMES15 min
Dans la formule15 min
Si c est une valeur de x comprise entre a et b^ on aura15 min
X -{- h--t)dt15 min
I.2.,./I Jq 1.2...^/ï-hl15 min
flous avons jusqu^à présent supposé que, dans15 min
T'dx15 min
On peut quelquefois reconnaître si l'intégrale15 min
Dans le cas où^ (x) devient infinie pour j* = fc15 min
Exemples15 min
DES INTÉGRALES INDÉTERMINÉES15 min
III15 min
FORMULES GÉNÉRALES15 min
EXEMPLES DE QUÀDEATDRES DE CO CUBES RÂPFOETÉES A15 min
Soit maintenant le cercle^ dont l'équation est15 min
Pour Vhyperbole, dont l'équation est Fig15 min
Si u désigne Taire du secteur COM, on aura15 min
I -i- tang»Ô ^ ^ ^ n- col* e15 min
FORMULE GÉNÉRALE15 min
RECTIFICATION DE LA PARABOLE15 min
I . . . II15 min
I . I .3 . 1 .3.5 ir15 min
Dans le cas de 17i^/?erio/e^ représentée par l'équation15 min
RECTIFICATION DE LA CYGLOIDE15 min
CUBATURE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION15 min
Le volume engendré par l'aire CMM'C est la15 min
VOLUMES TERMINÉS PAR DIVERSES SURFACES15 min
DES INTÉGRALES DOUBLES15 min
Ainsi, en appelant A Taire de la surface, on a15 min
SUEFACB DE L ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION15 min
Soient maintenant15 min
Une intégrale définie double15 min
Prenons, par exemple, pour a et p les coordon15 min
NOTIONS PRÉLIMINAIRES15 min
THÉORÈMES SUR LES DÉRIVÉES ET LES DIFFÉRENTIELLES15 min
Quotient15 min
NOTIONS SUR LES SÉRIES15 min
Étude de quelques séries15 min
Fonctions LOGARrrHMiQUEs15 min
DE LA VARIABLE INDÉPENDANTE15 min
Fonctions implicites données par plusieurs équations15 min
Du CHANGEMENT DE LA VARIABLE INDEPENDANTE. — Si l'OU a15 min
Différentielles partielles et totales d*cne fonction de15 min
Exemples15 min
DÉRIVÉES ET différentielles DE DIVERS ORDRES. -y--r OU15 min
FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES; ÉLIMINATION15 min
Soit u une fonction de x et^; si Ton pose15 min
Autres formes du reste15 min
SÉRIE DE MaCLAURIN15 min
DÉVELOPPEMENT DE COS X15 min
GÉNÉRALITÉS SUR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES. — Une15 min
Formule de Moiyre15 min
n = an15 min
Valeur des expressions qui prennent la forme o* ou i15 min
On a la formule15 min
Extension du théorème de Maclaurin.— Désignons parut15 min
Si/(X) X, z) est un maximum, il faudra que l'on ait15 min
Maximums bt minimums des fonchons impucites db plu15 min
ML15 min
THEOREMES SUR LES AIRES ET LES ARCS DES COURBES PLANES15 min
DiFFiEENTIELLB d'uN ABC DE GOUBBB. — la longUOUr d'UDO15 min
ÂPPUCATIONS15 min
THÉORIE DU CONTACT I>£S COURBES PLANES15 min
Il faut prendre le signe + ou le signe — suivant que15 min
Raton de courbure et développée de l'hyperbole15 min
De la courbure des courbes planes. — La courbure d'une15 min
DES COURBES A DOUBLE COURBURE15 min
Surfaces enveloppes. — Une équation de la forme15 min
Équation du plan osculateur15 min
Cebclb osculateub. ~ Si, par le milieu de la corde MM15 min
Raton et centre de courbure15 min
Sinusoïde15 min
y — L'origine est un point d'arrêt15 min
Intégration immédiate de quelques fonctions simples15 min
La formule15 min
INTÉGRATION DBS FRACTIONS RATIONNELLES15 min
Cas particulier des racines ikaginaires multiples15 min
Le cas actuel conduit à15 min
Intégration de /(or, y/a-\-bx -- x^) rZr ; a > o15 min
On peut intégrer une fonction rationnelle15 min
RÉDUCTION DB l'eieposant du binôme. far (a -{- ba^y dx15 min
IIITÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES15 min
Pour obtenir15 min
C0SX15 min
Intégration des dfférentielles de la forhe15 min
pair15 min
SlGNinCATION GÉOMÉTRIQUE DE15 min
Si c est une valeur quelconque de x, on aura15 min
i*» / e-^dx^u15 min
Des intégrales indéterminées. — L'intégrale15 min
Formules générales, x =f{^)i équation de CD, Flg15 min
Courbe du genre hyperbole donnée par Téquation15 min
Cercley15 min
Parabole. /' = a/tx15 min
CuBATURB DE l'bllipsoïdb DB RivOLimON. Flg15 min
Ellipsoïde rapporté à ses axes principaux15 min
Volumes terminés par dfverses surfaces. — Une surface15 min
HH15 min
THioRàMB SUR l'oriire des intégrations15 min
ÂiRE DES surfaces de révolution15 min
COURBES A DOUBLE COURBURE15 min
ET DE LA BINORMALE15 min
DEVELOPPEMENTS DES COORDONNÉES EN SERIES15 min
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