MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS D UNE SEULS

YÀRIABLE INDÉPENDANTE.

182, Soîty*(x) une fonciion d'une seule variable x, S!, en faisant croître j:, la fonction prend une valeur réelle qui surpasse celles qui la précèdent et celles qui la suivent immédiatement, cette valeur de la fonction est dite un maximum. On appelle minimum une valeur moindre que les valeurs voisines.

Sîf(x) devient un maximum pour x = a^ la différence y' (a -h A) — f{^) sera négatii^e^ quel que soit le signe de A, pourvu qu on prenne h suffîsamment petit. Cette différence serai t^05iV<Ve si y'(a) était un minimum.

183. Une fonction peut avoir plusieurs maximums et minimums qui se succèdent alternativement, si la fonction est continue. Un maximun peut être moindre qu'un minimum. Un maximum négatif devient un minimum quand on fait abstraction de son signe, et de même un minimum négatif pris positivement devient un maximum.

Ces diverses conséquences de la definition sont rendues manifestes par Tinspection de la courbe sinueuse A6CDE.

Soit j^ =/(x) l'ë-

1^6 cocEs d'ahai-tse.

quatioD de celte courbe; les Yaleurs maximum et minimum de f(^Jc) sont évidemment les ordonnées des points A, B, etc., où la tangente est parallèle à Taxe des x. On voit que Tordonnée du point A, qui est un maximum, est moindre que l'ordonnée du point D, qui est un mimimum, et que Tordonnée du point B, qui est un maximum en valeur absolue, est un minimum quand on la prend avec son signe.

184. On sait que la fonction /(x) croît continuellement lorsqu'en faisant croître x, dans un certain intervalle, la dérivéey' (x) reste constamment positive, et que f(x) décroit au contraire quand la dérivée est négative. La fonction y (x) ne devient donc ni maximum ni minimum tant que, x croissant, la fonction dérivée conserve le même signe. Mais si la dérivée change de signe lorsque x atteint et dépasse une certaine valeur a, alors la fonction y (x) deviendra, pour cette valeur, un maxi^ mum si la dérivée passe du positif au négatifs ou un minimum si la dérivée passe du négatif au positif Cette dérivée ne peut d'ailleurs changer de signe qu en s'évanouissant, ou bien encore en devenant discontinue ou inGnie. Ainsi, les valeurs de x qui rendent y*(x) maximum ou minimum sont uniquement celles pour lesquelles y' (x) devient nulle, inGnie ou discontinue en changeant de signe.

1H5. Ordinairement le maximum et le minimum répondent à des valeurs de x pour lesquelles la fonction dérivée change de signe en s'évanouissant et en restant Gnie et continue. Dans ce cas, on peut établir les conditions du maximum et celles du minimum à Taide de la série de Taylor. On a d'abord

f{x -+. h) —f[x] -^ //'(or) -+- R.

Siy{x) n'est pas nulle, la diflerence/(x-|-A) — f(jc) a le même signe que hf (x). Cette dillérence change donc

QUÂTOBZIÈME LEÇON. I 77

de signe avec A; donc/(x) n'est, dans ce cas, ni maicimam ni minimum.

Mais siy'(.r) esi nulle et si/"(.r) ne l'est pas, on a

alors, quel que soit le signe de /i, /{x-hh) — f(^) a le même signe que f" (r). Donc, sîy*''(x) est positive pour la valeur de x que Ton considère et qui annule^"' (x), f(x) est un minimum, et sif^^(x) est négative, ^(x) est UD maximum.

Mais siy'(.r) est nulle, on aura

et sî /'" ( r) n'est pas nulle, f(x-{' h) — /(x) changera de signe avec h 'f(x) ne sera ni maximum ni minimum. Siy'"(x) = o, on aura

ety*(x) sera un minimum ou un maximum selon que /*^ (x) sera posiiive ou négative pour la valeur de x qui annuley'(x),^''(x),y'' (x) , et ainsi de suite.

186. En général, quand une valeur de x annule quelques-unes des dérii'ées successives f* (x), y'' ( r), . . . , il la première déris^ée qu'elle n^ annula pas est d'ordre pair^ la fonction f(x) est un minimum ou un maximum, selon que cette déris^ée est posili^^e ou négative; mais il TLy a ni maximum ni minimum, si la première dérivée qui ne s'^ annule pas est d'' ordre impair.

Cette règle s'accorde avec celle que nous avons donnée plus haut (n^ 18^); car si, par exemple, les trois premières dérivées s'annulent, on aura, eu appliquant la série de Taylor à la dérivée,

Stcbm. — An.^ I. 12

1^8 COURS D*ANALTSE.

et Ton voit bien quey (x) changera de signe avec h. H est clair quey'(x) ne changerait pas de signe avec k si la première dérivée qui ne s'annule pas était d'ordre impair.

APPLICATIONS

187. 1® Minimum de af. Comme il revient au même Je faire la recherche du minimum sur le logarithme népérien de cette expression, posons

on aura

/'(ar) = i-f.lx et /'(x) = -.

Or si Ton fait