Ijt ==o

on a

Comme

\x=i — I, d'où

on en conclut que x* est minimum pour x= -

Fig. 8.

2** On donne deux points A et B, situés dans deux

milieux différents^ séparés par une surface plane P. Un mo^ bile se meut dans le premier milieu auec une vitesse uni^ forme u, et dans le second milieu awec une vitesse uniforme t^-^ on demande le chemin ARB que ce mobile doit suii^re pour se rendre de A en B dans /e temps le plus court.

Il est clair d'abord que ce chemin doit être composé de lignes droites. Je dis ensuite que la ligne brisée qui résout le problème doit être dans le plan ABCD, cou-

duit par les perpendiculaires ÂC, 6D au plan P. En eflet, supposons que cette ligne soit AGB et qu^elle rencontre le plan P au point G non situé dans le plan ABCD. Menons GL perpendiculaire à CD, et joignons AL et BL. Les triangles AGL et BGL étant rectangles en L. on a AL < AG et BL <^ BG; par suite, le mobile ira plus rapidement du point A au point B en suivant le chemin ALB qu*en suivant le chemin AGB.

Cherchons donc, dans le plan ABCD, perpendiculaire au plan P, la ligne AHB, qui est parcourue par le mobile dans le moindre temps possible. Soient

AC = rt, BD=:A, CD~c et CB=:j-;

le temps que le mobile emploie pour aller de A en H

AH da^~^x^ , . ... ,, j --

est — = , et celui qu il met pour aller de n

^ ^ BH i^b^^(c--xy . 1 r •

eo b est — = ; par suite, la fonction

qu'il s'agît de rendre un minimum est

Posons donc

/' [x) ou —^ '—=-. -^— = o,

u yfl' -T- x» V ^b^ -h [c — xy

ou bien

Si l'on voulait tirer de cette équation la valeur de x, il faudrait en élever les deux membres au carré, et l'on aurait ensuite à résoudre une équation du quatrième degré. Mais comme

^ =:sinCAHi:sinAHK,

y'fl» -h X' e — X

r =9inHBDz-zsinBHI,

i8o couns d'analyse.

on voil que, dans le cas du minimum [la fonction y* (j;)

n*a pas évidemment de maximum], on a

sin AHK sin BHI sin AHK n