ENVELOPPE D^UNE COURBE MOBILE

247. Quand une courbe se meut sur un plan, en changeant de forme suivant une loi déierminée, en général elle touche constamment une courbe fixe qu*on nomme son enveloppe. On peut supposer que la courbe mobile est représentée par une équation

dans laquelle c est un paramètre que Ton fait varier d'une manière continue. Si Ton donne à ce paramètre deux valeurs successives c et ch- Ac, les courbes représentées par les équations

se couperont en un point (x, j) , pour lequel on aura et, par suite/

f. F(.r, 7, c-f- Ar)— F(.r, r, r)

^ * Ac

Si Ac diminue indéfiniment, les coordonnées du point (x, j) qui ne cessent pas de satisfaire aux équations (i) et (i) vérifieront, à la limite, les équations

On obtiendra donc le point limite M de l'intersection de la courbe (i) et de la courbe infiniment voisine, en résolvant les équations (3). Si maintenant on élimine c entre ces équations, on aura le lieu des points M, c'est-à-dire le lieu des intersections successis^es des courbes représentées par Féquation (i).

Je dis que ce lieu est Tcnvoloppe cherchée. En e(Tet, une courbe A représentée par l'équation (i) est coupée

par celle quî la précède, B, et par celle qui la suit, C, en deux points qui unissent par se confondre. La droite qui joint ces deux points tend donc à devenir tangente à la courbe A. Elle tend d'ailleurs évidemment à devenir tangente au lieu des intersections successives. Donc ce lieu est tangent à toutes les courbes représentées par Féquation (i).

EXERCICES, i. Développée de la courbe

SoLunoN.