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Si Ton transporte Taxe des ordonnées parallèlement à lui-même jusqu'au point O, tel que AO = py l'équation
246 COURS D^ÂNÂLTSE.
prend la forme plus simple >}' H J", ou simplement
Cette courbe a la forme KOL [fig* 89, p. a44)- Elle est symétrique par rapport à i*axe des abscisses, ce qni était évident à priori, et s'étend à l'infini du côté desx positifs.
En différentiant» on trouve
dV 4 V
Le signe de -— est le même que celui de n\ par consé-
quent, la courbe est partout convexe vers l'axe des abscisses.
RATON DE COURBURE ET DÉVELOPPÉE DE l'eLLIPSB.
S45. Soit
Téquation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. On en tire
dy h^x d^x b'
Cela posé, la formule connue du rayon de courbure donne
Pour avoir la développée de Tellipse, reprenons les
VINGTIEME LEÇON. î>-47
deux équations
Quand on remplace — ei -— par leurs valeurs, l'équation (i) devient
ou
et posant a* — i'= c*, il viendra
ou enfin
En permutant dans la relation (3) a: et ^, a et £, ce qui change c' en — c', on aura
Par conséquent, si l'on pose, pour abréger, — = A et T- = B, on a
En substituant ces valeurs dans Féquation de Tellipse,
^4S COURS d'analyse.
mise sous la forme
i^Mh
on a, pour Téquation de la développée,
(iV
La courbe représentée par cette équation est symétrique par rapport aux axes de Tellipse, comme, du reste, on pouvait le prévoir. Pour y? = o, on a
ce qui donne deux points G, G\ situés sur Taxe des x
entre les foyers. On obtiendra de même les points H, H',
où la développée rencontre l'axe des y.
En différenliant Téquation (a) deux fois de suite, on a
'r.\ 'dyi
De là on tire dhi
dV
An
Or -— est de même signe que le dénominateur, puisque le numérateur est positif. Par suite, cette dérivée a le
VIlfGTikUB LBÇOH. 2/\i)
même sîgDe que yj. Donc la courbe tourne partout sa convexité vers l'axe des x.
On a ensuite
\k) A /An\ *B^ B ^
cette dérivée étant nulle pour tj == o et inCnie pour Ç ^^ o, on en conclut que les axes sont tangents à la courbe aux points G, G', H et H\ qui, à cause de la symétrie de la figure, doivent être des points de rebroussement.
lÂXON UB GOURBURB ET DÉVELOPPÉE DE l'hyPERBOLE.
246. Le rayon de courbure et la développée de Thyperbole peuvent se déduire de ce qui précède en changeant &* en — &'• On a ainsi pour le rayon de courbure
et, pour Téquation de la développée^
en posant c' = a* -t- i', — = A et -y- = B.
La développée de l'hyperbole se compose de deux
branches infinies HGK , H'G'K', symétriques par rapport aux deux axes; elle a deux points de rebroussement G et G' situés sur Taxe transverse au delà des foyers par rapport au centre, et elle tourne partout sa convexité vers Taxe transverse.
25o COUnS D^ÀNALYSB.
