DÉFINITION ET ÉQUATION DE LA CYCLOIDE

248. La cycloïrte est le Heu des positions d'un point M donné sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite indéGuie Ax.

Prenons pour axe des abscisses la droite A jr, pour origine le point A, où se trouve le point générateur M à Torigine du mouvement, et pour axe des ordonnées la perpendiculaire Ay.

On reconnaît, à pn'on\ que l'ordonnée est maximum

au point C, correspondant à Tabscisse AD = - cire. OM ;

que la courbe rencontre de nouveau l'axe des x en un Fig. 41. point A' dont l'abscisse

est égale à la longueur de la circonférence génératrice, et que la portion CA' de la courbe est symétrique de Tare CA par rapport à CD*, ensuite qu'au delà du point A', comme k gauche du point A, il existe une infinité d'arcs identiques à ACA'.

Cherchons maintenant l'équation de la courbe. Soient AP = Xj MP =:j les coordonnées d'un point M du liea, MO = a et MOH = u^ joignons MO et menons MI per* pendiculaire à GH.

Diaprés le mode même de génération, Tare de cercle MH est égal à la portion de droite AH. On a

ar = AH — PH = arcMH — MI — au — asin « = fl(ii — sina),

jr=OH — IO:^a — flCOSarr:fl(l — cosaj.

Il ne s'agit donc plus, pour avoir l'équation de la cycloïde, que d'çlimîner u entre les deux équations

(i) xT:-a{u — sina),

(2) X a{i — cosu).

Or la dernière donne

cosa = ou u -. - arc cos 9

d'où

v/2/ïr — r*

sina = it •

Portant ces valeurs dans l'équation (1), on a l'équation de la cycloïde,

(3) X - - a arc cos ip sf^My^—y^-

Pour expliquer le double signe du radical ou de sinii, on remarque que si le point M est sur l'arc AC, on a u < TT et sinu> o. Mais si le point M était sur l'arc CA', on aurait w>7r et sinu<o. Donc le signe supérieur convient à l'arc AC, et le signe inférieur à l'arc CA'.

TAKGENTE ET MORMALE.