VARIABLES

1. Avant d^exposer le but et les principes du calcul difierentiel, il est nécessaire d'établir quelques notions préliminaires.

On appelle variable une quanlilé qui prend successi- ▼ement dîflerentes valeurs, et constante celle qui conserve une valeur fixe dans le cours d'un même calcul. La nature de la question dont on s'occupe indique quelles sont les quantités variables et les constantes.

2. Quand les valeurs successives d'une quantité variable dépendent, suivant une certaine loi, de celles que prend une autre variable, la première est dite unv fonction de la seconde. On peut affirmer que deux quantités qui varient ensemble sont fonctions Tune de l'autre, lorsqu'on sait qu'à cbaque valeur de Tune d'elles correspond une valeur déterminée de l'autre, quand même la rela-

2 COURS D'AKALYSE.

lion qui existe entre elles ne serait pas connue ni même susceptible d'être exprimée analytiqucment.

3. On nomme variable indépendante celle à laquelle on donne des valeurs arbitraires^ eX. fonction la variable qui prend des valeurs correspondantes. Ainsi l'aire d'un cercle, d'une sphère, est fonction de son rayon; le temps de l'oscillation d'un pendule est fonction de sa longueur.

Une quantité peut être fonction de plusieurs variables indépendantes; par exemple, le volume d'un cylindre droit à base circulaire est fonction de sa hauteur et du rayon de sa base.

Les quanti tés variables son t o rdi nai rement représentées par les dernières lettres de l'alphabet x, y^ z, etc.; les constantes le sont par les premières a^ &, c, etc.

Quand on veut indiquer didérentes fonctions d'une variable x^ sans en spécifier la nature, on emploie les symboles/ (a:), c^ (x), F (a:), . . . . Si l'on donne à x une valeur particulière a, le résultat de la substitution de a à la place de x dans/ (jc) est indiqué par /'(a).

On représente les fonctions de plusieurs variables par les notations y (x,j^, z), o (x, y^ z), F (x, y, z), .... On indique i^dxf[a^ i, c), f (a, A, c), F (a, A, c),... les résultats que Ton obtient lorsqu'on met /z, £, c à la place de X, j^ z dans ces fonctions.

4. Une fonction d'une seule variable peut être représentée géométriquement.

Il suffit pour cela de considérer la variable indépen* dante x comme une abscisse et la fonction j^ comme l'ordonnée correspondante de la courbe plane définie par lequation

Ordinairement cette courbe est continue, c'est-à-dire que, pour des valeurs dex qui varient par degrés insensibles, Tordonnée varie aussi par degrés insensibles; y est alors une fonction continue de x.

PREMIÈItE LEÇON. 3

On peut de môme représenler par une surface une fonction de deux variables indépendantes; mais une fonction de trois, de quatre, ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes, n'est pas susceptible d'une représentation géomélriqne.

5. On dit qu'une fonction est explicite quand elle est exprimée immédiatement au moyen de la variable ou des variables dont elle dépend, de sorte qu'on peut obtenir sa valeur en effectuant sur ces variables certaines opérations indiquées avec précision. Ainsi

sont des fonctions explicites de .r.

On nomme fonctions implicites celles qui sont liées aux variables dont elles dépendent par des équations-non résolues^ ou par des conditions quelconques qui ne sont pas exprimées analjtiquement; telle est j" dans l'équation

X^ — ^jrjr -+- 2x' — rt' --=. o.

La fonction deviendra explicite si l'on tire sa valeur de inéquation, et Ton aura

±: v/rt' — x\