MÉTHODE DES LIMITES

6. Quand les valeurs successives d'une quantité variable approchent indéGhiment d'une quantité fixe et déterminée, de manière à n^en dijf'érer qu aussi peu quon voudra^ cette quantité fixe est appelée la limite des valeurs de la variable. Citons quelques exemples.

La surface d'un cercle est la limite vers laquelle tendent les aires d'une suite de polygones réguliers inscrits, quand le nombre de leurs côtés devient de plus en plus grand. En effet, on démontre en Géométrie que l'aire d'un polygone régulier inscrit dans un cercle peut différer

4 COURS d'aralyse.

de Faire de ce cercle d'une quantité aussi petite que Von voudra, pourvu que le nombre des côtés soit suffisamment grand. Il faut bien remarquer qu'il u*est pas néces> saire pour cela de démontrer que Taire du polygone régulier inscrit va constamment en augmentant avec le nombre de ses côtés.

De même, si Ton considère un arc et son sinus, le rap-

port ^ y toujours moindre que l'unité, peut en différer

d'aussi peu qu'on le voudra, pourvu que Ton donne à l'arc des valeurs suffisamment petites. Donc la limite de

sinjT

est Tunité, quand x décroit indéfiniment.

On remarquera bien encore qu'il n'est pas nécessaire de démontrer, et même on ne le démontre pas ordinaire-

, sinjr ,,

ment, que le rapport va en augmentant continuellement quand x, plus petit qu'un quadrant, diminue indéfiniment.

7. Les fonctions qui se présentent sous la forme -9 pour une certaine valeur de la variable, ont souvent des limites. Nous en avons un exemple dans le rapport » qui de-

vient - pour x= o, et qui a pour limite l'unité. De même l'expression

prend, pourx = a, la forme -• Toutefois, sî Ton donne

à X des valeurs différentes de a, mais qui s'en approchent successivement, les valeurs dey sont déiermiuéeset égales d'ailleurs aux valeurs de l'expression

:r' -4- /iT -i- n^

PREHIÈUE LEÇON. 5

Or, à mesure quex s^approche de plus en plus de «, celte dernière expression diffère de moins en moins de

OU

La limite des valeurs de^ est donc —

8. Une quantité variable peut s'approcher indé(iniment d'une limite en restant toujours plus petite ou tou • jours plus grande que cette limite; mais il peut se faire qu'une quantité variable devienne alternativement plus grande et plus petite que la limite vers laquelle elle tend, en oscillant, pour ainsi dire, de part et d'autre.

Ainsi le rapport ■ tend vers zéro quand r croît in-

définiment. En même temps, toutes les fois que x devient

égal à un multiple de la demi -circonférence, de-

vient o, et change de signe.

9. Si deux quantités qui varient simultanément restent constamment égales entre elles, dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent^ et si Von sait que Vune d'acnés tend vers une limite, il est é%/ident que Vautre tend aussi vers la même limite ou vers une limite égale à celle-là. C'est là le principe de la méthode dtrs limites dont on fait un si grand usage dans toutes les parties des mathématiques.

Ainsi, veut-on prouver que le cercle a pour mesure le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon -, en désignant respectivement par a, p, r l'aire, le périmètre et l'apothème d'un polygone régulier inscrit dans le cercle, on a

oraelpX- r sont des quantités qui varient avec le nombre des côtés, mais qui restent, toujours égales entre elles;

s COURS d'analysf.

leurs limites sont donc égales. Si A, C, R désignent respectivement Taire, la circonférence et le rayon du cercle, A est la limite de û, C celle de /? et R celle de r : donc

MÉTHODE IJiFIMTÉSIMALE.

10. Lorsqu'une quantité variable prend des valeurs de plus en plus petites, de manière qu'elle puisse devenir moindre que toute quantité donnée, on dit qu'elle devient injiniment petite. Ainsi la dilîérence entre Taire d'un cercle et celle d'un polygone inscrit peut être rendue infiniment petite en augmentant le nombre des côtés. La

fraction -^ devient infiniment petite quand x

x^ -■ IX -1-3

prend des valeurs de plus en plus grandes.

Une quantité infiniment petite ou un infiniment petit n'est donc pas une quanti té déterminée, qui ait une valeur actuelle assignable : c'est au contraire une quantité essentiellement variable qui a pour limite zéro.

11. Quand une variable prend des valeurs de plus en plus grandes, de manière qu'elle puisse surpasser toute gr&ndeur donnée, on dit qu'elle devient infinie ou infini» ment grande^ et on la représente alors par le signe oo

ou - • Ainsi la fonction o

devient infinie pour j: = a.

Pour des valeurs de x très-peu différentes de a, mais plus grandes que a, les valeurs correspondantes dej" sont positives, tandis que, pour des valeurs de x plus petites que rt, les valeurs de y sont négatives. L*infini est donc positif ou négatif, suivant les cas.

12. Les infiniment petits sont des auxiliaires qui servent à rendre plus aisé le calcul des quantités finies. Leur

PREMIÈRE LEÇON. 7

emploi donne lieu à la résolution fréquente de ces deux problèmes : i*' deux infiniment petits dépendant Vun de Vautre^ trouver la limite de leur rapport; 2° trouver lalimite d^ une somme d^ infiniment petits dont le nombre augmente indéfiniment,

La solution de ces problèmes est simplifiée dans un grand nombre de cas par les deux théorèmes suivants :

13. Théorème I. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites nest pas changée quand on remplace ces quantités par d^iutres qui ne leur sont pas égales^ mais qui ont a\^ec elles des rapports tendant vers V unité.

Soient ûc et (3 deux quantités infiniment petites; «'et j3' d^autres quantités telles, que les limites des rapports -79

•^soient égales à Tunilé. On aura identiquement P

d'où Ton tire

lim - z=i hm —T'Iim -- =r lim — •

d'où

On aura de même

donc

Um^ = liin-.lim^ = liin~i

hm - = hm -~ =: hm — •

14. On peut encore présenter la démonstration de ce théorème comme il suit :

Puisque — a pour limite l'unité, si l'on pose

cocas D*ANALTSE.

on aura

Cl - devra tendre vers zéro, ce que l'on exprime en disant

que 6 est infiniment petit par rapport à a. On aura de même

par suite,

Donc, puisque- et — ont pour limite zéro, on aura

d'où

lim^UmH — I,

lim -— =1 lim--

Ce uouveau point de vue donne lieu à cet autre énoncé :

La limite du rapport de deux infiniment petits ne change pas quand on les remplace par d^ autres qui en différent d'une quantité infiniment petite par rapport à eux.

Exemples/ On aura, pour x = o,

I** lim — '- — :— lim '— = lim cosx ^r^ i ,

Umgj: tangj:

2*» lim -. - — := hm :;:— = -1

sm3x ùx 3

sin.r X

3® hm -r- — — 1= lim — ■ i^ oo •

PREMIERE LEÇON. 9

15. Théorème II. — La limite d'une somme d'infiniment petits qui sont tous de même signe ne change pas quand on les remplace par d^ autres dont les rapports aux premiers ont respectivement pour limite l'unité ou qui diffèrent des premiers de quantités infiniment petites par rapport à eux.

Soient a, a', a", . . . des infiniment petits qui sont tous de même signe et dont le nombre augmente de plus en plus. Désignons par S leur somme, et supposons que cette somme ait une limite finie. Soient p, ^\ ^", ...; s, s', e", . .. des infiniment petits tels, que Ton ait

on aura

p -^ P' -f- P" -i- . . . = S -4- as -h a' *-' -h a" b" -h

Or, si fï est la plus grande des quantités 6, z\ t" y. . . , on aura, en valeur at)Solue,

ae -4- a' s' -+- a"e" -f- . . . < Su,

et comme m a pour limite zéro, il en résulte

lim (as -f-a'e'H- ol'z" -f-, . .)^o,

et par conséquent

lim (p H- p' -h p" -+-.,.)= S, ce qu'il fallait démontrer.