L'égalilé
lim (as -+■ OL i' -4- a"e" -+-...) rr= o
donne lieu à ce théorème : Si une somme d* infiniment petits^ dont le nombre augmente indéfiniment, a une limite finie, la somme des produits obtenus en les tuulti^ pliant respectix^ement par d'autres infiniment petits aura pour limite zéro.
Par exemple^ considérons l'aire comprise entre la courbe plane CD, l'axe des x et les deux ordonnées CA et DB. Imaginons que Ton partage AB en parties de plus
f O COUBS D ANALYSE
en plus petites, telles que PP', suivant une loi quel- ^*c- »• conque, mais de manière toute-
E ^-r. ^ fojs qijg chacune de ces parties
tende vers zéro. Je dis que la
somme des rectangles tels que
MIM'K, construits avec la dif-
férence de deux ordonnées consécutives et Tintervalle PP'^ a pour limite zéro. On a, en effet,
et
2 ÎMIM' K r^ 2 PP'. OI ;
et comme KM est une quantité infiniment petite, on aura, en appliquant le théorème précédent,
yMIM'Kr=o.
DIFFÉRENTS ORDRES d'iNFIMMENT PETITS.
17. Quand on considère des infiniment petits qui dépendent les uns des autres, on en prend un en particulier qu^on nomme infiniment petit principal^ et auquel on rapporte les autres comme à un terme de comparaison. On appelle alors infiniment petits du premier ordre tous ceux dont les rapports à Tinfiniment petit principal ont des limites finies; infiniment petits du second ordre ceux dont les rapports aux infiniment petits du premier ordre sont des infiniment petits du premier ordre, et ainsi de suite.
D'après cela, si a est un infiniment petit du premier ordre, tout autre infiniment petit de cet ordre sera de la forme a (/? -I- (3), p étant fini et /3 infiniment petit. En générai a"(;?-l-|3) représentera un infiniment petit de Tordre de n.
Exemples- Si Tare x est du premier ordre, sinx sera
tlu premier ordre, puisque — - a pour limite i ; î — cosjc
PREMIÈRE LEÇON. 1 I
sin.r
sera du second ordre, puisque i — cosx = a sin'yX.
Les théorèmes I et II (u"" 13 et 15) peuvent s'énoncer ainsi :
Quand on cherche la limite du rapport de deux quantités composées d! infiniment petits de divers ordres, on peut ne conserver, dans chacune de ces quantités^ que les infiniment petits de V ordre le moins élei^é.
Quand on cherche la limite de la somme de plusieurs quantités injïniment petites^ on peut ne conserver que les infiniment petits de V ordre le moins élevé ( * ) .
Comme application du premier théorème, on a
-. sinjr -4- 3 sîn*.r sin.r
hm r:= Iim = I .
Dans cet exemple, on néglige au numérateur 3 sin*x, infiniment petit du second ordre, et au dénominateur Tinfiniment petit du troisième ordre ax'.
EXERCICES
\. Deux points étant placés sur une courbe à une dislance infiniment petite du premier ordre l'un de l'autre, la distance du premier de ces points à la tangente n>enée à la courbe par l'autre point est infiniment petite du second ordre.
2. Deux courbes ayant une tangente commune, la diflérence de leurs ordonnées, situées à une distance infiniment petite du premier ordre du point de contact, est du second ordre au moins.
