ORIGINE DU CALCUL DIFFÉRENTIEL
18. On a été conduit à la découverte du calcul diflerentiel en cherchant une méthode générale pour mener des tangentes aux courbes planes représentées par des équations.
Concevons deux variables xei y liées entre elles par une relation quelconque, de manière que Tune soit fonction de Tauire, j'=f(x). Considérons ces variables comme les coordonnées d'un point rapporté à des axes rectangulaires tracés dans un plan., et construisons la courbe AMB dont Téquation est y =f[x). Supposons
l'îc- 3' cette courbe réelle et
continue dans une certaine étendue, et propo- ^^^ sons-nous de mener la
tangente au point M don t les coordonnées sont x et y. On définit ordî- I nai rement la tangente
comme la limite vers laquelle tend une sécante, lorsque, cette sécante tournant autour d'un de ses points d'intersection, un second point d'intersection s'approche indéfiniment du premier. Soit donc M' un second point de la courbe ayant pour coordonnées x-h h^ y-hk\ considérons la sécante M'MS, et la tangente MT qui en est
Ui
DEUXIEME LEÇON. l3
la limite. On a, dans le triangle M'MN,
Donc
tan«M'MN = ^^^*.
tangIMR ^^ lim tangM'MiN = \imj^
quand h diminue indéfiniment jusqu^à zéro.
Donc, si Ton cherche la limite du rapport des accroissements simultaués A et h des variables j^ et x, accroissemenLsliés entre eux par IVquation
quand h diminue indéfiniment, cette limite sera la tangente trigonométrique de Tangle que fait avec Taxe des x la droite qui touche la courbe au point M.
