BUT DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. FONCTION DÉRIVÉE

i 9. Le calcul différentiel a pour but de déterminer, pour chaque fonction, la limite du rapport de V accroissement de la fonction à celui de la variable^ quand celui-ci diminue jusqu^à zéro. Cette limite, qui dépend de la valeur attribuée à la variable j?, mais nullement de son accroissement A, est appelée la fonction dérivée de la fonction proposée. On la représente par j' ou par/"' (x).

Nous allons chercher la dérivée de quelques fonctions simples.

m étant entier et positif. Si nous changeons x en x •+• hy y devient j^-f~A, et Ton a j^ -h /• = (x -f- A)"*, d'où A= (xH-A)'" — x^, ou

d'où

fi m ^ n' ]]

- =: //i.r*— ' H x^-Vi -H ... 4- /<"—».

i4 COURS d'analyse.

Le rapport j se compose de deux parties, l'une indépendante de /i, et l'autre dans laquelle le facteur h est commun à tous les termes; si/i décroît indéfiniment jusqu'à zéro, cette seconde partie pourra devenir aussi petite que Ton voudra; donc

h Ainsî^ dans ce cas,

On peut encore obtenir cette dérivée sans faire usage de la formule du binôme. Posons

on a alors

et si Ton remarque que A = X — x, on en déduit

— X"- ' -+- X"— ' x H- . . . -+- Xx»-2 -4- x*-

Quand h diminue jusqu'à zéro, X s'approche indéfiniment de X, et, comme le dernier membre a m termes qui deviennent égaux à x'"""*, quand on passe à la limite, on

k a bien encore lim -r = moC"^^,

h 7? Soit une fonction entière

Changeons xen x -+- //, y devient j^ h- /r, et Ton a

y -\-k-=^a (.r -f- //)•" 4- ^ (^ -f- /i)" -h c (x -h /»/ -h . . . , d'où

et, par suite,

Divisant par h et faisant ensuite h = o, on a

On pourrait aussi obtenir cette dérivée comme la précédente, sans recourir à la formule du binôme.

m étant entier et positif. On a

et

d'où, en développant et divisant par /*,

et enfin, passant à la limite, on a

im - .— —^ — — — — ,

donc

— mjc

d'où Ton voit que la règle pour obtenir la dérivée de x"»,

l6 COURS D ANALYSE.

quand m est entier, esi toujours la même, quel que soit le signe de m.

on a