THÉORÈMES SUR LES DÉRIVÉES ET LES DIFFÉRENTIELLES

i8. Origine du calcul différentiel. — On a été conduit à la découverte du calcul différentiel en cherchant une méthode générale Fi(;. 3. pour mener des tangentes aux

courbes planes représentées par des équations.

Soit la courbe AMB Jes points M(x,r), U'[x-^h,x-hà), la sécante M'MS, et la tangente MT,

tangIMR ^ lim j?

quand // diminue indéfiniment jusqu'à zéro.

19. But du calcul différentiel. — Fonction dérivée. — Le calcul différentiel a pour but de déterminer, pour chaque fonction, la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, quand celui-ci diminue jusqu'à zéro. Cette limite est appelée la fonction dérhée de la fonction proposée. On la représente parj' ou par/'(x).

20. Différentielle. — Le produit de l'accroissement de la variable indépendante x par la dérivée de la fonction s'appelle la différentielle do la variable ^, et on la désigne par dy,

La différentielle de la variable indépendante n'est autre chose que l'accroissement h.

La dérivée d'une fonction d'une variable est le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable.

2i . dx et dy sont les accroissements correspondants do x et de jr^ quand on passe du point de contact tf situé sur la courbe à un point quelconque I de la tangente, tandis que k ou M'N est l'accroissement de l'ordonnée de la courbe correspondant au même accroissement h = dx ^Q l'abscisse.

22. Le rapport de l'accroissement de la fonction à la différentielle de cette fonction tend vers l'unité.

23. pROPRxérés GSNéaALES des fonctions deriyées. — Une fonction croit ou décroit à partir d*une valeur déterminée de x, suivant que sa dérivée est, pour cette valeur, positive ou négative.

24. Si la dérivée d'une fonction est nulle pour toutes les valeurs de X comprises entre a et 6, cette fonction a une valeur constante dans cet intervalle.

25. Si une fcmction est croissante dans un certain intervalle, sa dérivée ne peut devenir négative dans cet intervalle; si une fonction est décroissante, sa dérivée sera négative.

26. Si la dérivée d*une fonction était constamment infinie, x serait une constante.

27. Quand on considère plusieurs variables x, y, z, u, on représente les accroissements simultanés de ces variables par Ax, A^, Az, Au.

28. Lorsque deux fonctions sont égales pour toutes les valeurs de ia variable indépendante, leurs différentielles ou leurs dérivées sont égales.

Deux fonctions qui ne diffèrent que par une constante ont la mênae différentielle.

29. Réciproquement, si les différentielles de deux fonctions sont égales entre elles, dans un certain intervalle, ces fonctions auront, dans cet intervalle, une différence constante.