NOTIONS PRÉLIMINAIRES

i. Notions sur les fonctions. — On appelle variable une quantité qui prend successivement différentes valeurs, et constante celle qui conserve une valeur fixe dans le cours d'un même calcul.

2. Quand les valeurs d'une variable dépendent de celles que prend une autre variable, la première est dite iine fonction de la seconde.

3. On nomme variable indépendante celle à laquelle on donne des valeurs arbitraires, et fonction la variable qui prend des valeurs correspondantes.

On indique différentes fonctions d'une variable x par /(x). ? ( x ) , F(x). Le résultat de la substitution de a à la place de x dan8/(j:) est indiqué par /(a).

On représente les fonctions de plusieurs variables par/(x, j, z), y(jr, r,z), ^(x,y, z),.... On indique par /(fl,^,c), <p(fl,^,c), F(dr, b^c),..,^ les résultats que Ton obtient lorsqu*on met a, b^ c à la place de x^ j, z dans ces fonctions.

4. Ou représente une fonction d'une seule variable par l'ordonnée d'une courbe plane, et par une surface, une fonction de deux variables indépendantes.

5. On nomme fonction explicite celle qui est exprimée immédiatement au moyen de la variable ou des variables dont elle dépend, et fonction implicite celle qui est liée aux variables dont elle dépend par des équations non résolues, ou par des conditions quelconques non exprimées analytiquement.

6 à 9. Méthode des limites. — Quand les valeurs successives d'une quantité variable approchent indéfiniment d'une quantité fixe

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et déterminée, de manière à n'en différer qu'aussi peu qu'on Tfour ilra, celte quantité fixe est appelée la Umite des valeurs de la variable.

Si deux quantités qui varient simultanément restent constamment égales entre elles, dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent, et si Tune d'elles tend vers une limite, Tautre tend aussi vers la même limite : principe de la méthode des limites.

10 à 12. MàTHODE INFINITÉSIMALE. — Un infiniment petit cst une quantité essentiellement variable qui a pour limite zéro.

Les infiniment petits sont des auxiliaires qui servent à rendre plus aisé le calcul des quantités finies.

13. Théorème I. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites n'est pas changée quand ou remplace ces quantités par d'autres qui ne leur sont pas égales, mais qui ont avec elles des rapports tendant vers Funité.

14. Autre énoncé : La limite du rapport de deux infiniment petits ne change pas quand on les remplace par d'autres qui en diffèrent d'une quantité infiniment petite par rapport à eux.

15. Théorème U. — La limite d'ane somme d'infiniment petits de môme signe ne change pas quand on les remplace par d'autres dont les rapports aux premiers ont respectivement pour limite l'unité.

16. Théorème. — Si une somme d'infiniment petits, dont le nombre augmente indéfiniment, a une limite finie, la somme des produits obtenus en les multipliant respectivement par d'autres infiniment petits aura pour limite zéro.

17. Différents ordres d'infiniment petits. — Quand des infiniment petits dépendent les uns des autres, on en prend un pour infiniment petit principal. On appelle infiniment petits du premier ordre tous ceux dont les rapports à Tinfiniment petit principal ont des limites finies ; infiniment petits du second ordre ceux dont les rapports aux infiniment petits du premier ordre sont des infiniment petits du premier ordre, et ainsi de suite.

Si a est un infiniment petit du premier ordre, p étont fini et p infiniment petit, a"(/?-4-p) représentera un infiniment petit de l'ordre de n.

Autre énoncé des théorèmes I et U (13, 15) :

Quand en cherche la limite du rapport de deux quantités composées d'infiniment petits de divers ordres, on peut ne conserver, dans chacune de ces quantités, que les infiniment petits de l'ordre

le moins élevé.

Quand oh cherche la limite de la somme de plusieurs quantités

fnfiniment petites, on peut ne conserver que les infiniment petits do l'ordre le moins élevé.