n = an

( — i)" a*"* sin^x = cos/nx — m cos (m — a)x

. mim — i) , ^ I /if(iii-i)...(/i-hi)

H cos(/n — 4 )x — . . . ± r •

OT = a/i + i :

( — i)" a"^* 8in"x = sin/Tfx ^- m sin (m — a) x

H î isin(/n — 4)x. ..ifc — ^ — ^ ^Sinx,

i56. Définition bt moPEiâT^s de e', cosz, sinz. — La série

est toujours convergente, et sa somme est une fonction bien déterminée de z pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de z; par définition, cette fonction est e^. On pose de même, quel que soit z,

co8z=:i i S--T— ..., smz =

157. J^es fonctions ainsi définies conservent les propriétés caraotéristiques établies dans le cas des variables réelles; en premier lieu, l'égalité

x4-r (xH-r)»

est une identité, qui implique la relation générale e^er = e'+r.

158. Si, dans Téquation qui définit e*, on change zen àzz y/^, on trouve, eu égard à la définition générale de sinz et cosz,

ff***^-* = cosz d: v^—i sinz ;

cette relation, combinée avec la propriété fondamentale de e^,

montre que les formules fondamentales de la Trigonométrie s'é-

Sturv. — Jn.f I. 3o

466 TABLV AITÀLYTIQUB

tendent aux arcs imaginaires. On nomme sinus et cosinus hyperboliques de z les fonctions

159-160. DÉFINITION DE Iz ET DE z'^. — Lo logarithme népérien de

a -h b>J — I = p(cos(i) -♦- / — I sinco)

est défini par la condition

e^-^y^f--^ = p(cosci> -h /— I sinco),

/[p(costo)-+- vZ—isinci))] = /p -^(cl) -h a Air)/- -i ;

il a une infinité de valeurs, mais on peut suivre l'une d'elles par continuité. On a

gm = gmiz = p'n[cos/7i(u>-haAir) -h /— i sin ( w -h aA-Tt)J; cette quantité a q valeurs si m r= f • 161. La dérivée d'une fonction /( 3) de variable imaginaire est

/v, X r f{z-^£iz)-^f(z) f(z) = hm^-^ As" '

l'extension aux imaginaires des règles du calcul algébrique et des relations sur lesquelles repose la différentiation des transcendantes élémentaires généralise les résultats obtenus pour les dérivées des fonctions de variables réelles. On a

dAz)=f'{z)dz.

expressions qui se présentent sous une forme indêtkrhultk. 162, 163. Vraie valeur des expressions qui se présentent

SOUS LA forme -• •— ^ se réduit à - quand x = a, f^*^^ (a) et

f("^*)(a) sont les premières dérivées qui ne s'annulent pas simultanément pour jr = a.

lim

164, 165. Valeur des expbessions qui prennent la forme —

^ri^ prend la forme ^9 muTx = a: /i+i eet Tordre des dérivées

de f (x) et de/(x) qui, les premières, ne sont pas nulles ou infinies à la fois.

166. Valeur des expressions qui prennent la forme o x «o . — Pour trouver la valeur de l'expression f (<>)/( a), dans laquelle

y (tf) = o et/(fl) = 00 , on observe que

expression qui devient - pour x = <i, et l'on appliquera les règles précédentes.

167. Lorsque les dérivées de r [x) et de f(x] conduisent à des expressions qui présentent toujours pour x — a la même indétermination que celle dont on cherche la vraie valeur, on remplace x par a + A, on développe les fonctions par la série de Taylor, ei, Umtes simplifications faites, on pose A = o.