Extension du théorème de Maclaurin.— Désignons parut

(du\ f du\ , du du.

d~ ) ' l 5~ / '*"' ce que deviennent «, ^» 5"»"*'»P<>^f'*^=*^«

DBS MATIÈRES. 4^9

OQ aura

i.a.3.../iL\fl^ dq J^ \dx dy /, J

expression dans laquelle on doit faire j: = o, / = o, et remplacer h par X, k par y^ p par 6x et ^ par 0/.

i75. Fonctions bomogèniis. /(x, /> «) sera une fonction homogène si l'on a

m est dit le degré de la fonction.

i76. Si Ton divise une fonction homogène de degré m par une des variables élevée à la puissance m, la fonction ne dépendra plus que des rapports des autres variables à celle-ci, et réciproquement.

177. Les dérivées partielles et du premier ordre de toute fonction homogène du degré /n,/(ar,/, z) sont des fonctions homogènes du degré (ut — i).

i78 à I8i. Pour toute fonction homogène, on a

du , du , du

di^'^dr^^Tz^^"'''^

(du du du \(>) , .

fdti du . du \W ,

La somme des dérivées partielles d'une fonction homogène, multipliées respectivement par la variable correspondante, est égale à la fonction multipliée par son degré.

HAXIHUlf BT MINIMUM DBS PONCTIONS d'uNB VARIABLE.

i82. Maximums bt minimums des fonctions d'unb sbulb variablb INDÉPENDANTS. -- Solt f(x) unc fonctiou d'une seule variable x. Si, en faisant croître x, la fonction prend une valeur réelle qui sur-

4^0 TABLE AKALYTIQUE

passe celles qui la précèdent et celles qui la suivent immédiatement, cette valeur de la fonction est dite un maximum. On appelle minimum une valeur moindre que les valeurs voisines.

483. Une fonction peut avoir plusieurs valeurs maximums et minimums, lesquelles doivent se succéder alternativement. Un maximum peut être moindre qu'un minimum. Un maximum négatif devient un minimum quand on fait abstraction de son signe, et do même un minimum négatif pris positivement devient un maximum.

184. Les valeurs de x qui rendent /(x) maximum ou minimum se trouvent parmi celles pour lesquelles /'(x) devient nulle, infinie ou discontinue en changeant de signe.

i8S. Ordinairement /(x) reste finie et continue. Dans ce cas, on a la règle suivante.

486, 487. Quand une valeur de x annule quelques-unes des dérivées successives /'(x),/'(x),..., si la première dérivée qu'elle n'annule pas est d'ordre pair, la fonction /(x) est un minimum oa un maximum, selon que cette dérivée est positive ou négative; mais il n'y a ni maximum ni minimum si la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre impair.

i88, 489. Maximums et minimums des FOifcnoifs impucitis d'une seule variable indépendante. — Trois équations :

I/(X,/, Z, tt)-rO, tp(x, ^, z, u) ^o, 4'(-ï^,r» «1 tt) = o.

Pour trouver les maximums ou les minimums de b, on différentie les équations (i), en y regardant/, z et « comme des fonctions de:c

et supprimant les termes où entre -^ j ce qui donne

iix dy de dz dx ' .. j do d^ dr dif dz

^*' ^ d^^^'d^-^di'di^'''

d^ d^ r^^\[» dz ^

dx dy dx dz' (tx~~ *

On élimine -j- ^^-^^^ l'on obtient une équation,

DES MATIÈRES. ^'Jl

qui, jointe aux équations (i), détermine les valears de x, y, z et n* L'élimination de ^^^ ^^ "jZ ®^^^ ^^ équations (%) peut se faire

en ajoutant ces équations multipliées respectivement par i , > et p, et choisissant les indéterminées X et p de manière que dans le résultat les coefficients de •:r- et de -r- soient nuls.

ax dx

490. Fonction explicite F (x, /, z, }i^^ x^ j, s et k étant liées par

les équations

<p{x,/, z, tt) = 0, >Kar, /, z, tt) = o.

On posera F (a:, /, z, u) -- p = o, et Ton sera ramené ^ la question précédente.

MAXIMUM ET MmiMUM DES FONCTIONS DE PLUSIEURS YÀRUBLB8.

i9i. Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables INDÉPENDANTES. — Une valeur particulière et réelle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes /(x, /, z) est un maximum^ quand elle surpasse toutes les valeurs de cette fonction qu'on obtiendrait en donnant aux variables des valeurs très-peu différentes de celles que l'on considère. On appelle minimum d'une fonction une valeur particulière moindre que toutes les valeurs voisines.

Les valeurs de x, /, z qui rendent u =/(x, ^^ z) maximum ou

, . du du minimum se trouvent parmi celles qui rendent les dénvées 2]^> ^ >

^ nulles, infinies ou discontinues.

i92 et 193. En se bornant au cas où ces dérivées sont continues.

La différentielle totale du premier ordre est nulle.

Si (l^u n'est pas identiquement nulle, il peut arriver trois cas: i"* d^u pourra changer de signe, alors il n'y aura ni maximum ni minimum; a* d^u conservera toujours le même signe, alors u sera maximum ou minimum selon que d'^u sera négative ou positive; 3** d'^u sera nulle pour certaines valeurs de A, X', /, mais sans jamais changer de signe. Alors on ne peut dire si la fonction est un maximum ou un minimum, et pour avoir une conclusion il faut pousser plus loin le développement de Aa.

47^ TIBLV ÀlfÀLTTIQVE

Pour que d*u ou la fonction

AA«+ Bit» 4- C/*+ aDAit 4- aEA/4- aFA/

soit positive pour toutes les valeurs réelles de A, ^ et /, A n*6tant pas nul, il faut que Ton ait dans le cas du minimum

Maintenant, on peut écrire tPu sous la forme

si l'on pose, pour abréger,

D' E», p ED

B-- = G, C-- = l, F--JJ.-M,

Ces conditions sont sufiQsantes.