Raton de courbure et développée de l'hyperbole

Rayon de courbure : p = ^^ •

Equation de la développée, en posant c' = fl'-f-^*, - = A

247. Enveloppe d'une courbe mobile. — Quand une courbe se meut sur un plan, en changeant de forme suivant une loi déterminée, elle est en général constamment tangente à une courbe fixe qu'on nomme son enveloppe. On peut supposer que la courbe mobile est représentée par une équation

où c est un paramètre qui varie d'une manière continue. Si entre les équations

Sturh. — An,^ \, 3l

on élimine c, on aura le lieu des intersections successives des ooorbes représentées par l'équation (i) ou Fenveloppe cherchée.

ÉTUDE PARTICULIÈRE DE LA. GTCLOTdB. 248. DÉFINITION ET ÉQUATION DE LA CTCLOÏDE. — La cycloide

est le lieu des positions d'un

Fig. 4i-

point M donné sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite indéfinie Âx.

Équation de la cycloïde :

X =^ a arc cos

z^y/najr-y.

Le signe supérieur convient à Tare AC, et le signe inférieur à Tare CA'.

249, 2S0. Tangente et noruale.

dX y/'xnr—r^ dx jr

MH est la normale au point M, et MG, perpendiculaire à MH, est la tangente en ce point.

Supposons le cercle CmD décrit sur l'ordonnée maximum comme diamètre; menons Mm parallèle à Ax : une parallèle à Cm, menée par le point M, sera la tangente cherchée.

251. Raton et centre du ceuclb osculateur. R = aMH, MN = aMH, N est le centre.

252, 253. DÉVELOPPÉE de la ctcloïde. — La développée de la cycloïde est engendrée par le mouvement d*un point N placé sur la circonférence d'un cercle égal au cercle OM, mais qui roulerait sur une parallèle LE à Ax, au-dessous de cette droite, et à une dislance de celle-ci égale au diamètre du cercle mobile. Celte développée est une cycloïde égale à la première.

254, 255. Longueur dun arc de ctcloïde.

arcCM = aMG = a ^^a' - lay.

2S6. L'arc entier de la cycloïde est égal à quatre fois le diamètre du cercle générateur.

courbure des courbes planes.

257. Expression du raton de courbure quand la variable independante est quelconque.

^ {ixd^y — djrd^x

258. Expression du raton de courbure en coobdonnées polaires.

** , , rfr» d'r